(sin⁴α-cos⁴α)/(sin²α)+2ctg²α=1/(sin²α)
чтобы доказать какое-либо дождество надо одну из частей привести к другой. Мы будем рассматривать левую часть и приведем ее к виду правой:
(sin⁴α-cos⁴α)/(sin²α)+2ctg²α = (sin²α-cos²α)(sin²α+cos²α)/(sin²α)+2ctg²α =
теперь воспоьзуемся тождеством:
sin²α+cos²α=1
sin²α=1-cos²α
и подставим в числителе полученное выражение:
= (1-cos²α-cos²α)(1-cos²α+cos²α)/(sin²α)+2ctg²α = (1-2cos²α)/(sin²α)+2ctg²α =
теперь применим, что
ctg²α = cos²α/sin²α
подставим:
= (1-2cos²α)/(sin²α)+2cos²α/sin²α = (1-2cos²α+2cos²α)/(sin²α) = 1/(sin²α) - а это и есть правая часть нашего тождества. Следовательно, оно доказано.
Классификация: дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, неоднородное.
Пусть
Уравнение Бернулли состоит из двух этапов.
1) Предположим, что второе слагаемое равняется нулю:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Переходя к дифференциалам:
Разделим переменные
Проинтегрируем обе части уравнения:
2) Зная v, найдем u(x)
Проинтегрируем обе части уравнения:
Чтобы записать общее решение исходного уравнения, необходимо выполнить обратную замену.
ответ: