Question

Друзья мои, нужна ! подскажите, как побороть это неравенство?

Answer 1

ОДЗ :   x∈R

3ˣ > 0    ⇒    3ˣ + 4 > 0;     3·(3ˣ + 4) > 0

========================================

$\log_3\Big(3^x+4\Big)\cdot \log_9\Big(3^{x+1}+12\Big)\geq 3\\\\\log_3\Big(3^x+4\Big)\cdot \log_{3^2}\Big(3\cdot \big(3^x+4\big)\Big)\geq 3\\\\\log_3\Big(3^x+4\Big)\cdot \dfrac 12\cdot \log_3\Big(3\cdot \big(3^x+4\big)\Big)\geq 3~~~~~\Big|\cdot 2\\\\\log_3\Big(3^x+4\Big)\cdot \Big(\log_33+\log_3 \big(3^x+4\big)\Big)\geq 6\\\\\log_3\Big(3^x+4\Big)\cdot \Big(1+\log_3 \big(3^x+4\big)\Big)-6\geq 0\\\\\log_3\Big(3^x+4\Big)+\log_3^2 \Big(3^x+4\Big)-6\geq 0$

Замена переменной

$y=\log_3\Big(3^x+4\Big)\\\\y^2 +y - 6\geq 0\\\\(y+3)(y-2)\geq 0$

Метод интервалов :  y₁ = -3;   y₂ = 2

++++++++++ [-3] --------------- [2] +++++++++++ > y

1) y ≤ -3

$\log_3\Big(3^x+4\Big) \leq -3;\\\log_3\Big(3^x+4\Big)\leq \log_3\Big(3^{-3}\Big);~~~~~~~~31\\3^x+4\leq \dfrac 1{27}~~~~\Leftrightarrow~~~~3^x\leq -3\dfrac{26}{27}$

3ˣ  не может быть отрицательным  ⇒   нет решения

2) y ≥ 2

$\log_3\Big(3^x+4\Big) \geq 2\\\log_3\Big(3^x+4\Big)\geq \log_3\Big(3^2\Big);~~~~~~~~~~31\\\\3^x+4\geq 9\\3^x\geq 5~~~~~~~~~~~~~~\Big|~\log_3()\\\log_33^x\geq \log_35\\\\\boxed{\boldsymbol{x\geq \log_35}}$

ответ : x ∈ [ ㏒₃5; +∞ )