Question

При яких значеннях а обидва корені рівняння х2-2ах+а2-1=0 менші від числа 2​

Answer 1

$x^2-2ax+a^2-1=0(x-a)^2-1=0(x-a-1)(x-a+1)=0\\x-a-1=0x=a+1\\x-a+1=0x=a-1\\\left \{ {{a+1$

Answer 2

Рассмотрим функцию $f(x)=x^2-2ax+a^2-1$.

Пусть оба корня $x_1,x_2$ нашего уравнения меньшие 2. Поскольку корни существует и различны, то должно выполняться условие $D0$. Коэффициент перед x² положительный, поэтому функция $y=f(x)$ принимает положительные значения на множестве $(-\infty;x_1)\cup (x_2;+\infty)$; стало быть, если $x_1$, то $f(2)0$. И наконец, вершина параболы $x_0$ то и подавно $x_0$

$\begin{cases}&\text{}D0\\&\text{}f(2)0\\&\text{}x_00\\&\text{}2^2-2a\cdot 2+a^2-10\\&\text{}\dfrac{2a}{2\cdot 1}0\\&\text{}a^2-4a+30\\&\text{}a0\\&\text{}a$

ответ: a ∈ (-∞; 1).