Question

Нужно вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Answer 1

Вектор  5р  : рисуем того же направления, что и вектор  р, только в 5 раз длиннее.

Вектор q  рисуем с параллельного переноса, совместив его начало с началом вектора  5р . Угол в 60 градусов сохраняется.

По правилу параллелограмма - диагональ параллелограмма, построенного на векторах  5р  и q , является суммой этих векторов. Диагональ выходит из точки, являющейся общим началом векторов  5р и q .

Далее строим вектор  3q , длина которого в 3 раза больше длины вектора q , а направление совпадает с направлением вектора q .

Вектор  ( р-3q ) - это сторона треугольника, соединяющая конец вектора 3q  и начало вектора  р .  Причём  векторы  р и 3q имеют общее начало . Направление вектора (р-3q)  идёт от вектора 3q  к  вектору р . На рисунке этот параллелограмм заштрихован зелёной штриховкой .

Чтобы построить параллелограмм, площадь которого равна векторному произведению  векторов (5p+q) и  (р-3q) , надо опять выбрать точку, которая будет началом как вектора (5р+q) , так и вектора (р-3q) .  Затем достроить параллелограмм .

$(5p+q)\times (p-3q)=5[\, p\times p\, ]-15[\, p\times q\, ]+[\, q\times p\, ]-3[\, q\times q\, ]=\\\\=5\cdot 0-15[\, p\times q\, ]-[\, p\times q\, ]-3\cdot 0=-16[\, p\times q\, ]\\\\S=\Big |\, -16\cdot [\, p\times q\, ]\, \Big |=16\cdot |\, p\, |\cdot |\, q\, |\cdot sin60^\circ =16\cdot |\, p\, |\cdot |\, q\, |\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\\\\=8\sqrt3\cdot |\, p\, |\cdot |\, q\, |$