В иррациональных уравнениях кроме ОДЗ нужно всегда учитывать дополнительные условия (ДУ) или всегда для проверки подставлять полученные корни в исходное уравнение.
Рассмотрим исходное уравнение:
Далее мы возводим это уравнение в квадрат, но это неэквивалентный переход - например, неправильное равенство -1 = 1 переходит в правильное 1 = 1, поэтому на этом этапе легко приобрести лишние корни, что и произошло.
В правой части исходного уравнения находится неотрицательный корень, поэтому в ДУ необходимо потребовать неотрицательность левой части:
Как раз это ДУ и позволяет в процессе решения откинуть лишний корень
x² - 4/3 - 6 - 0.5x = 3
x² - 0.5x - 4/3 - 6 - 3 = 0
x² - 0.5x - 31/3 = 0
D = 0.5² - 4 * (-31/3)= 0.25 + 124/3 = 124.75/3 ≈ 41.58
x1 = (0.5 - 124.75/3) / 2 ≈ -20.54
x2 = (0.5 + 124.75/3) / 2 ≈ 21.04