Question

Найти все решение уравнения (фото приложено). тема- комплексные числа.

Answer 1

$- \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3} }{2} i; 0; 1$

Объяснение:

Нам нужно найти все комплексные числа, квадрат которых равен их сопряжённому числу.

Пусть

$z = x + iy$

искомое число.

Тогда его сопряжённое число

$s = x - iy$

По условию задачи:

$s = z^{2}$

Подставим вместо комплексных чисел их представления через действительные x и y. Получим:

$x - iy=(x+iy)^{2}$

Преобразуем:

$x-iy=(x+iy)^{2}\\x-iy=x^{2}+2ixy+i^{2}y^{2}; i^{2}=-1\\x-iy=x^{2}+2ixy-y^2\\x-yi=(x^{2}-y^{2})+2xyi$

Два комплексных числа равны, когда равны соответственно их действительные и мнимые части:

$x-yi=(x^{2}-y^{2})+2xyi\\\left \{ {{(x^{2}-y^{2}) = x} \atop {2xy = -y}}\right.$

Рассмотрим второе уравнение в системе:

$2xy=-y\\2xy+y=0\\y(2x+1)=0\\y=0 \: or \: x = -\frac{1}{2}$

Если y = 0, то

$\left \{ {{(x^{2}-y^{2}) = x} \atop {y=0}} \right. \\x^{2}-0=x\\x^{2}=x\\x^{2}-x=0\\x(x-1)=0\\x = 0 \: or \: x = 1$

Если x = -0.5, то

$\left \{ {{(x^{2}-y^{2}) = x} \atop {x=-\frac{1}{2} }} \right. \\(-\frac{1}{2})^{2} -y^{2} = -\frac{1}{2} \\\frac{1}{4} -y^{2}=-\frac{1}{2} \\\frac{3}{4} =y^{2}\\y=\pm \frac{\sqrt{3} }{2}$

В итоге получаем, что

$if \: y= 0, \: then \: x= 0 \: or \: x=1\\z = 0+0i = 0 \: or \: z = 1 +0i = 1$

$if \: x = -\frac{1}{2}, \: then \: y = \pm \frac{\sqrt{3} }{2} \\z = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3} }{2}i$