Question

13. при каком наименьшем значении переменной t выражения (t^2- 2t), (3t +5), (4t + 13) и
(2t^2-t+ 25) будут последовательными членами арифметической прогрессии?
​

Answer 1

t = 1.

Объяснение:

любой член арифметической прогрессии, начиная со 2го, равен среднему арифметическому двух соседних его членов:

$3t + 5 = \frac{3 {t}^{2} - 2t + 4t + 13 }{2} (1)\\ 4t + 13 = \frac{3t + 5 + 2 {t}^{2} - t + 25 }{2} (2)$

Отдельно решим каждое уравнение и посмотрим, существуют есть ли у них

1)

$6t + 10 - 3 {t}^{2} - 2t - 13 = 0 \\ - 3 {t}^{2} + 4t - 3 = 0 \\ 3 {t }^{2} - 4t + 3 = 0 \\ d = 16 - 4 \times 3 \times 3 = - 20.$

D < 0. Значит, корней нет.

2)

$8t + 26 - 2t - 2 {t}^{2} - 30 = 0 \\ - 2 {t}^{2} + 6t - 4 = 0 \\ {t}^{2} - 3t + 2 = 0 \\ d = 9 - 4 \times 2 = 1 \\ t1 = \frac{3 + \sqrt{1} }{2} = 2 \\ t2 = \frac{3 - \sqrt{1} }{2} = 1$

Мы ищем наименьшее значение t. Проверим, являются ли выражения последовательными членами арифметической прогрессии при t = 1:

$1) {t}^{2} - 2t = 1 - 2 = - 1 \\ 3t + 5 = 3 + 5 = 8 \\ 4t + 13 = 4 + 13 = 17 \\ 2 {t}^{2} -t + 25 = 2 - 1 + 25 = 26$

Каждый новый член больше предыдущего на 9 единиц. Значит, это значение t нам подходит К тому же оно наименьшее.