Решение: 1) Область определения: D(y) x²-2x≠0 (-∞;0) (0;2) (2;∞) 2) Множество значений функции: (-∞;∞) 3) Проверим является функция четной или нечетной: y(x)=(x-1)/(x²-2x) y(-x)=(-x-1)/(x²+2x), так как y(-x)≠-y(x) и y(x)≠y(-x), то функция не является ни четной ни не четной. 4) Найдем нули функции: у=0, получаем х-1=0; х=1 Итак график пересекат ось абсцисс в точке (1;0) 5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания: y'=(x²-2x-(2x-2)(x-1))/(x²-2x)²=(-x²+2x-2)/(x²-2x)² ; y'=0 -x²+2x-2=0 уравнение не имеет корней, следовательно точей экстремума функция не имеет. Так как y'< 0 на всей области определения, то функция убывает. 6) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости функции: y"=((2-2x)(x²-2x)²-2(x²-2x)(2x-2)(2x-x²-2))/(x²-2x)^4=(2x³-6x²+6x-4)/(x²-2x)³; y"=0 2x³-6x²+6x-4=0 (x-1)(x²-2x+4)=0 x=1 Так как промежутках (-∞;0) (0;1) y"< 0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вверх Так как на промежутках (1;2) (;∞) y"> 0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вниз. Точка х=1 является точкой перегиба функции. у (1)=0 7) Найдем асимптоты функции: а) вертикальные: lim (при х->0-) (x-1)/(x²-2x)=-∞ lim (при х->0+) (x-1)/(x²-2x)=∞ следовательно прямая х=0 является вертикальной асимптотой. lim (при х->2-) (x-1)/(x²-2x)=-∞ lim (при х->2+) (x-1)/(x²-2x)=∞ следовательно прямая х=2 является вертикальной асимптотой. б) наклонные у=kx+b k=lim (при x->∞) y(x)/x=lim (при x->∞) (x-1)/(x³-2x²)=0 b=lim (при x->∞) (y(x)-kx)=lim (при x->∞) (x-1)/(x²-2x)=0 следовательно прямая у=0 является горизонтальной асимптотой: 8) Все строй график!
πn +π/4 < x < π/2 + πn , n ∈ Z.
x ∈ об единение интервалов ( πn +π/4 ; π/2 +πn );
π/4 < x < π/2 ;
2πk+π/4 < x < π/2 + 2πk ;
2k*π+ π/4 < x < π/2 + 2k*π (1)
2k _четное число .
π+ π/4 < x <3π/2 ;
π+ π/4 < x < π/2 + π ;
2πk+π+ π/4 < x < π/2 + π +2πk ;
(2k+1)π + π/4 < x < π/2 + (2k+1)π (2)
(2k+1)__нечетное число .
πn +π/4 < x < π/2 + πn , n ∈ Z.
б) сos x≤0 .
2πk + π/2 ≤ x ≤ 3π/2 +2πk , k∈ Z.
в) ctgx <1.
πk+ π/4 < x < π +πk
г) sinx ≥0 .
πk ≤ x ≤ (2k +1)π ; k∈ Z
2πk+0 ≤ x ≤ π + 2πk ; k∈ Z.
2πk ≤ x ≤ π + 2πk ; k∈ Z.
2πk ≤ x ≤ (2k +1)π ; k∈ Z