Cosφ = √2 / 2 φ = ±arccos(√2 / 2) + 2пk, kЄZ φ = ±п/4 + 2пk, kЄZ -4п<=φ<=0 (по условию) -4п<=п/4 + 2пk<=0 или -4п<=(-п/4) + 2пk<=0 -9п/4<= 2пk<=-п/4 -7п/4<=2пk<=п/4 -9/8<=k<=-1/8 -7/8<=k<=1/8 k=1 k=0 Подставляем значения k в наше значение угла, учитывая, что каждое относиться к этому выражению со своим знаком, 1-й k к выражению со знаком "+", 2-й со знаком "-" при п/4
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA
= 0
Для плоскости АВС подставляем данные.
Подставим данные и упростим выражение:
x - 2 y - 0 z - 0
5 - 2 3 - 0 0 - 0
0 - 2 1 - 0 1 - 0
= 0
x - 2 y - 0 z - 0
3 3 0
-2 1 1
(x - 2)(3·1-0·1) - (y - 0)(3·1-0·(-2)) + (z - 0)(3·1-3·(-2)) = 0
3 x - 6 + (-3) y - 0 + 9 z - 0 = 0
3x - 3y + 9z - 6 = 0 , или, сократив на 3, получаем уравнение плоскости АВС: x - y + 3z - 2 = 0.
Аналогично для плоскости АВД.
x - 2 y - 0 z - 0 = 0
5 - 2 3 - 0 0 - 0
(-2) - 2 (-4) - 0 1 - 0
x - 2 y - 0 z - 0 = 0
3 3 0
-4 -4 1
(x - 2)(3 ·1-0 ·(-4)) - (y - 0)(3 ·1-0 ·(-4)) + (z -0)(3 ·(-4) -3·(-4) ) = 0
3(x - 2) + (-3) (y - 0) + 0(z - 0) = 0
3x - 3y - 6 = 0 или, сократив на 3, получаем уравнение плоскости АВД:
x - y - 2 = 0.
Угол между плоскостями определяем по формуле:
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²).
Подставим данные: АВС: x - y + 3z - 2 = 0, АВД: x - y - 2 = 0.
cos α = |1*1 + (-1)*(-1) + 3*(-2)|/ (√(1 + 1 + 9)*√(1 + 1 + 4)) = 0,4264.
α = 1,1303 радиан или 64,761 градус .