Сторона квадрата АВ = 8 см, ВР = ВЕ = 3 см. Поскольку КРЕМ - трапеция, то КМ параллельно РЕ, поэтому DK = DM = x.
Длина одного основания РЕ = 3*корень(2), длина другого КМ = х*корень 2, меняется от 8*корень 2 до 0.
Диагональ квадрата АС = BD = 8*корень(2).
Точки К и М в одном крайнем положении совпадают с А и С, в другом - обе совпадают с D, тогда трапеция вырождается в треугольник. Два крайних положения показаны на
Длина BN = PN = EN = 3*корень(2)/2. Длина DF = KF = MF = x*корень(2)/2. Длина OB = BD/2 = 4*корень(2)
Высота трапеции FN = BD - BN - DF = 8*корень(2) - 3*корень(2)/2 - x*корень(2)/2.
Площадь трапеции
S = (PE + KM) * FN / 2 = (3*корень(2) + х*корень(2)) * (8*корень(2) - 3*корень(2)/2 - x*корень(2)/2) / 2
S = корень(2) * (3 + x) * корень(2) * (8 - 3/2 - x/2) / 2 = (3 + x)(16 - 3 - x)/2 = (3 + x)(13 - x)/2 -> max
Неожиданно простая функция получилась. Дальше находим производную, и приравниваем к 0.
S ' = [ (13 - x) - (3 + x) ] / 2 = (10 - 2x) / 2 = 5 - x = 0
x = 5
ответ: точки К и М должны быть на расстоянии 5 см от точки D.
1)
16π/15 = π + (π/15)
17π/16 = π + (π/16)
На отрезке [π/2; 3π/2] функция sin убывает, то есть большему аргументу соответствует меньшее значение функции (на этом отрезке).
Итак,
π/2 < 17π/16 < 16π/15 < 3π/2
sin(π/2) > sin(17π/16) > sin(16π/15) > sin(3π/2)
1 > sin(17π/16) > sin(16π/15) > -1
2)
4/7 > 5/9
проверим это, домножим данное неравенство на положительное число (7·9)
4·9 > 5·7
36 > 35. Истина,
итак
4/7 > 5/9
домножим последнее неравенство на отрицательное число (-1)
-4/7 < -5/9
домножим последнее неравенство на положительное число π
-4π/7 < -5π/9
функция ctg - это убывающая функция на интервале (-π; 0), то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (для этого интервала).
-π < -4π/7 < -5π/9 < 0
ctg(-4π/7) > ctg(-5π/9)