Данное неравенство выполняется при следующих условиях: 1. Старший коэффициент а²-5а+6>0- парабола направлена ветвями вверх. 2. Дискриминант D=4(a-3)²-4(a²-5a+6)<0 Получим систему неравенств, решим их поочередно: а²-5а+6>0 a∈(-oo;2)U(3;+oo) 4(a-3)²-4(a²-5a+6)<0 4a²-24a+36-4a²+20a-24<0 -4a+12<0 4a>12 a>3 Решением системы будет промежуток a∈(3;+oo) Однако было бы ошибкой на этом завершить решение, в подобных заданиях с параметром важно учесть случаи когда наше неравенство не будет квадратным, при а²-5а+6=0, неравенство линейное, заметим, что при а=3, неравенство примет вид 1>0, что тоже верно, поэтому точку а=3 необходимо включить в решение. ответ: a∈[3;+oo)
Решение, построенное на другой идее. Начнем с глупого утверждения.
Глупое утверждение. x и y взаимно просты. Доказательство. Пусть x и y делятся на d > 1. Но тогда 2x + 1 должно делиться на d, а на самом деле дает остаток 1.
Теперь можно перемножить сравнения, получим, что (2x + 1)(2y + 1) делится на xy. 4xy + 2(x + y) + 1 делится на xy 2(x + y) + 1 делится на xy
Из последнего следует, что 2(x + y) + 1 >= xy xy - 2x - 2y <= 1 (x - 2)(y - 2) <= 5
Пусть для определенности x >= y. Тогда достаточно рассмотреть такие случаи: 1) y = 1. Тогда 3 делится на x, откуда x = 1 или x = 3. 2) y = 2. Тогда 5 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 5. Проверка показывает, что это не решение: 11 не делится на 2. 3) y = 3. Тогда 7 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 7. Проверка показывает, что это решение: 15 делится на 3. 4) y >= 4. Тогда x - 2 <= 5/2, т.е. x <= 4. Последнее невозможно в силу ограничений на x.
Объяснение:
___0,3____0,7____
+ - +
x∈(-∞; 0,3)∪(0,7;+∞)