Задана функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и x2. требуется установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента, и сделать схематический чертеж. f(x)=11^1/(4+x) x1=-4, x2=-2.
Теперь рассмотрим определение непрерывности функции. Функция f(x) непрерывна в точке a, если выполняется следующее:
1) Значение функции в точке a существует (не является неопределенным).
2) Значение предела функции, когда x стремится к a, существует.
3) Значение функции в точке a равно значению предела функции.
Для нашей функции верно:
1) Мы уже установили, что значение f(x1) является неопределенным.
2) Рассмотрим значение предела функции, когда x стремится к x1:
lim(x -> -4) f(x) = lim(x -> -4) 11^1/(4+x)
= 11^1/(4+(-4))
= 11^1/0
= неопределенное значение (деление на ноль не определено)
3) Мы видим, что значение f(x1) не равно значению предела функции. Поэтому данная функция будет разрывной в точке x1=-4.
Теперь рассмотрим значение для x2=-2:
1) Мы уже установили, что значение f(x2) равно 5.5.
2) Рассмотрим значение предела функции, когда x стремится к x2:
На графике мы видим, что у функции есть разрыв в точке x1=-4, так как значение в этой точке не определено. Все остальные точки на графике непрерывны. В точке x2=-2, функция имеет непрерывность.
Надеюсь, это решение понятно и подробно объясняет процесс определения непрерывности или разрывности функции в заданных точках.
Для начала, вычислим значения функции в данных точках x1=-4 и x2=-2.
f(x1) = 11^1/(4+x1) = 11^1/(4+(-4)) = 11^1/0 = неопределенное значение (деление на ноль не определено)
f(x2) = 11^1/(4+x2) = 11^1/(4+(-2)) = 11^1/2 = 11/2 = 5.5
Теперь рассмотрим определение непрерывности функции. Функция f(x) непрерывна в точке a, если выполняется следующее:
1) Значение функции в точке a существует (не является неопределенным).
2) Значение предела функции, когда x стремится к a, существует.
3) Значение функции в точке a равно значению предела функции.
Для нашей функции верно:
1) Мы уже установили, что значение f(x1) является неопределенным.
2) Рассмотрим значение предела функции, когда x стремится к x1:
lim(x -> -4) f(x) = lim(x -> -4) 11^1/(4+x)
= 11^1/(4+(-4))
= 11^1/0
= неопределенное значение (деление на ноль не определено)
3) Мы видим, что значение f(x1) не равно значению предела функции. Поэтому данная функция будет разрывной в точке x1=-4.
Теперь рассмотрим значение для x2=-2:
1) Мы уже установили, что значение f(x2) равно 5.5.
2) Рассмотрим значение предела функции, когда x стремится к x2:
lim(x -> -2) f(x) = lim(x -> -2) 11^1/(4+x)
= 11^1/(4+(-2))
= 11^1/2
= 11/2
= 5.5
3) Мы видим, что значение f(x2) равно значению предела функции. Поэтому данная функция будет непрерывной в точке x2=-2.
Теперь давайте построим схематический чертеж. На горизонтальной оси отложим значения аргумента x, а на вертикальной оси - значения функции y=f(x).
^
|
6 | .
|
5 | .
|
4 | .
|
3 | .
|
2 | .
| .
1 | .
|
0 |-------------------------------------------------
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
На графике мы видим, что у функции есть разрыв в точке x1=-4, так как значение в этой точке не определено. Все остальные точки на графике непрерывны. В точке x2=-2, функция имеет непрерывность.
Надеюсь, это решение понятно и подробно объясняет процесс определения непрерывности или разрывности функции в заданных точках.