Для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=3x-x^2, нам нужно проанализировать знак выражения 3x-x^2 и выяснить, в каких интервалах оно положительное или отрицательное.
Шаг 1: Факторизация
Сначала факторизуем выражение 3x-x^2.
3x-x^2 = x(3-x)
Шаг 2: Нахождение критических точек
Для того чтобы найти значения x, при которых выражение равно 0, мы должны решить уравнение x(3-x) = 0.
Если x=0, то x(3-0) = 0(3) = 0, то есть выражение будет равно 0.
Если 3-x=0, то x=3. Подставляя x=3 в исходное выражение, получаем 3(3) - 3^2 = 9-9 = 0. Значит, выражение также будет равно 0 при x=3.
Таким образом, наши критические точки равны x=0 и x=3.
Шаг 3: Изучение интервалов
Теперь мы можем изучить интервалы и определить знак выражения 3x-x^2 в каждом из них.
I. Интервал (-∞, 0)
Возьмем значение x=-1 (любое значение, меньшее 0). Подставим эту точку в исходное выражение:
y=3(-1)-(-1)^2 = -3 - 1 = -4
Таким образом, на интервале (-∞, 0) выражение 3x-x^2 отрицательно.
II. Интервал (0, 3)
Возьмем значение x=1 (любое значение, между 0 и 3). Подставим эту точку в исходное выражение:
y=3(1)-(1)^2 = 3-1 = 2
Таким образом, на интервале (0, 3) выражение 3x-x^2 положительно.
III. Интервал (3, +∞)
Возьмем значение x=4 (любое значение, большее 3). Подставим эту точку в исходное выражение:
y=3(4)-(4)^2 = 12-16 = -4
Таким образом, на интервале (3, +∞) выражение 3x-x^2 отрицательно.
Шаг 4: Ответ
Итак, мы нашли следующие промежутки знакопостоянства:
(-∞, 0): отрицательное
(0, 3): положительное
(3, +∞): отрицательное
Объяснение:
корни (0,0),(3,0)
область определения x∉R
пересечение с осью у (0,0)