Question

Доказать что при всех допустимых значениях α справедливо равенство

Answer 1

В левой части выражения (для простоты cosα = c, sinα = s):

$\frac{s+c}{c-s} = \frac{s+c}{c-s}*\frac{c-s}{c-s} =\frac{c^2-s^2}{(c-s)^2} = \frac{2c^2-1}{1-2cs} =$

В последнем переходе использовалось основное тригонометрическое тождество: c² + s² = 1.

Переходим к двойному углу:

$=\frac{ \cos 2\alpha}{1-\sin 2\alpha}$

Далее помножим числитель и знаменатель на cos2α:

$\frac{\cos^2 2\alpha}{(1 - \sin 2\alpha)\cos 2\alpha} = \frac{1 - \sin^2 2\alpha}{(1 - \sin 2\alpha)\cos 2\alpha} = \frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{1}{\cos 2\alpha} + \frac{ \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{1}{\cos 2\alpha} + \tan 2\alpha$

Получили искомое выражение.