Докажите, что значение выражения: 115^3-94^3 делится на 3

Question

Алгебра: Докажите, что значение выражения: 115^3-94^3 делится на 3

NIKESHNELY · Accepted Answer

Посчитаем сначала количество чисел, записываемых цифрами от до , а затем из этого числа вычтем те, среди которых есть четыре идущих подряд. Сразу заметим, что если в таком числе есть четыре подряд идущих числа, то и в самом числе они должны идти подряд.

Выпишем числа от до : 1,2,3,4,5,6,7,8 . Любые $j,\; j\in \overline{0,7}$ вычеркнутых цифры оставят число, в котором цифры идут по возрастанию. Наоборот, любое такое число может быть получено описанной операцией. Число вычеркнуть: $\sum\limits_{j=0}^{7}\binom{8}{j} = 2^{8}-1$ .

Теперь посчитаем количество тех, в которых есть четыре подряд идущих. В этом случае мы можем вычеркивать только из -ех оставшихся чисел. Поскольку четверок подряд идущих , то всего искомых чисел $5\cdot \sum\limits_{j=0}^{4}\binom{4}{j} = 5\cdot 2^{4}$ .

Итого $2^8-1-5\cdot 2^4 = 256-1-80 = 175$ .

MOGZ ответил