Question

1) Постройте график функции f(x)=2x^2-(a+2)x+a, если известно, что её нули x1 и x2 связаны соотношением 1/х1 + 1/х2 =3
2) Постройте график функции f(x)= x^2 +3x +a, если известно, что её нули х1 и х2, связаны соотношением х1^2•х2+х1•х

Answer 1

$1) \ f(x) = 2x^{2} - (a + 2)x + a$ — квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх.

Нули функции:

$2x^{2} - (a + 2)x + a = 0 \ \ \ | : 2$

$x^{2} - \dfrac{(a + 2)x}{2} + \dfrac{a}{2} = 0$

Согласно теореме Виета, имеем:

$x_{1} + x_{2} = \dfrac{a + 2}{2} \\x_{1} \cdot x_{2} = \dfrac{a}{2}$

По условию $\dfrac{1}{x_{1}} + \dfrac{1}{x_{2}} = 3$ или $\dfrac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} \cdot x_{2}} = 3$.

Следовательно, подставляя значения $x_{1} + x_{2} = \dfrac{a + 2}{2}$ и $x_{1} \cdot x_{2} = \dfrac{a}{2}$, найдем параметр $a$:

$\dfrac{\dfrac{a + 2}{2} }{\dfrac{a}{2} } = 3$

$\dfrac{a + 2}{a} = 3$

$a + 2 = 3a\\2a = 2\\a = 1$

Таким образом, $f(x) = 2x^{2} - (1 + 2)x + 1$, то есть $f(x) = 2x^{2} - 3x + 1$

Найдем координаты точки вершины параболы:

$x_{0} = \dfrac{3}{4}$

$f\left(\dfrac{3}{4} \right) = 2 \cdot \left(\dfrac{3}{4} \right)^{2} - 3 \cdot \dfrac{3}{4} + 1 = \dfrac{9}{8} - \dfrac{9}{4} + 1 = -\dfrac{1}{8}$

Значит, $\left(\dfrac{3}{4} ; \ -\dfrac{1}{8} \right)$ — точка вершины параболы.

Найдем точки пересечения с осями координат:

а) С осью абсцисс:

$2x^{2} - 3x + 1 = 0$

$D = (-3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

$x_{1,2} = \dfrac{3 \pm 1}{4} = \left[\begin{array}{ccc}x_{1} = \dfrac{1}{2} \\ \\x_{2} = 1\\\end{array}\right$

Следовательно, $\left(\dfrac{1}{2}; \ 0 \right)$ и $(1; \ 0)$ — точки пересечения функции с осью абсцисс.

б) С осью ординат:

$y_{1} = 2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 + 1 = 1$

Следовательно, $(0; \ 1)$ — точка пересечения с осью ординат.

Согласно свойству симметрии параболы, $\left(1; \ \dfrac{3}{2} \right)$ — точка графика.

Изобразим график данной функции (см. вложение).

$2) \ f(x) = x^{2} + 3x + a$ — квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх.

Нули функции:

$x^{2} + 3x + a = 0$

Согласно теореме Виета, имеем:

$x_{1} + x_{2} = -3\\x_{1} \cdot x_{2} = a$

По условию $x_{1}^{2} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{2}^{2} = 12$

Следовательно, подставляя значения $x_{1} + x_{2} = -3$ и $x_{1} \cdot x_{2} = a$, найдем параметр $a$:

$x_{1} \cdot \underset{a}{\underbrace{x_{1} \cdot x_{2}}} + \underset{a}{\underbrace{x_{1} \cdot x_{2}}} \cdot x_{2} = 12$

$x_{1}a + x_{2}a = 12$

$a(x_{1} + x_{2}) = 12$

$-3a= 12$

$a = -4$

Таким образом, $f(x) = x^{2} + 3x - 4$

Найдем координаты точки вершины параболы:

$x_{0} = -\dfrac{3}{2}$

$f\left(-\dfrac{3}{2} \right) = \left(-\dfrac{3}{2} \right)^{2} + 3 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) - 4 = \dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{2} - 4 = -6\dfrac{1}{4}$

Найдем точки пересечения с осями координат:

а) С осью абсцисс:

$x^{2} + 3x -4 = 0$

$x_{1} + x_{2} = -3\\x_{1} \cdot x_{2} = -4$

$\left[\begin{array}{ccc}x_{1} = -4\\x_{2} = 1 \ \ \\\end{array}\right$

Следовательно, $\left(-4; \ 0 \right)$ и $(1; \ 0)$ — точки пересечения функции с осью абсцисс.

б) С осью ординат:

$y_{1} = 0^{2} + 3 \cdot 0 -4 = -4$

Следовательно, $(0; \ -4)$ — точка пересечения с осью ординат.

Согласно свойству симметрии параболы, $\left(-3; \ -4 \right)$ — точка графика.

Изобразим график данной функции (см. вложение).