11 в любой степени кончается на 1. 19 в нечетной степени кончается на 9.
Их сумма кончается на 1+9=10, то есть на 0, а значит, делится на 5.
Осталось доказать, что это число делится на 3.
11=3*3+2; 11^2019 = (3*3+2)^2019 = 2^2019.
Здесь и дальше знак = означает "такой же остаток при делении на 3".
2^2019 = (2^3)^673 = 8^673 = 2^673 = 2^3*2^670 = 8*(2^10)^67 = 2*1024^67 =
= 2*(3*341+1)^67 = 2*1^67 = 2
Таким образом, 11^2019 имеет при делении на 3 остаток 2.
19 = 3*6+1; 19^2019 = (3*6+1)^2019 = 1^2019 = 1.
Таким образом, 19^2019 имеет при делении на 3 остаток 1.
Сумма этих чисел имеет остаток 2+1=3, то есть делится нацело.
Что и требовалось доказать.
a1 + a2 + a3 + a4 = a
a1 + n = a2 - n
a1 + n = a3*n
a1 + n = a4/n
Выразим все части через а1
a2 = a1 + 2n
a3 = a1/n + 1
a4 = a1*n + n^2
Подставим в сумму
a1 + a1 + 2n + a1/n + 1 + a1*n + n^2 = a
Умножим все на n
2a1*n + 2n^2 + a1 + n + a1*n^2 + n^3 = a*n
Выделяем а1
a1*(2n + 1 + n^2) = a*n - n^3 - 2n^2 - n
Выделяем полные квадраты
a1*(n + 1)^2 = a*n - n(n + 1)^2
Делим
a1 = a*n/(n+1)^2 - n
Остальные части получаем подстановкой.
a2 = a1 + 2n = a*n/(n+1)^2 + n
a3 = a1/n + 1 = a/(n+1)^2 - 1 + 1 = a/(n+1)^2
a4 = a1*n + n^2 = a*n^2/(n+1)^2 - n^2 + n^2 = a*n^2/(n+1)^2
Для a = 90, n = 2 получаем
a1 = 90*2/3^2 - 2 = 90*2/9 - 2 = 10*2 - 2 = 18
a2 = a1 + 2n = 18 + 4 = 22
a3 = a1/n + 1 = 18/2 + 1 = 9 + 1 = 10
a4 = a1*n + n^2 = 18*2 + 4 = 36 + 4 = 40
ответ: 18, 22, 10, 40