Question

Решить уравнение 2sin^2x-sin2x=cos2x

Answer 1

$2\sin^2x-\sin2x=\cos 2x\\ 2\sin^2x-\sin2x=\cos^2x-\sin^2x\\ 3\sin^2x-2\sin x\cos x-\cos^2x=0$
Это однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$ и при этом $\cos x\ne 0$, получим
$3tg^2x-2tgx-1=0$
Решим последнее уравнение как квадратное уравнение относительно tgx
$D=b^2-4ac(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16\\ \\ tgx= \dfrac{2+4}{2\cdot3}=1;~~~~\Rightarrow~~~~\boxed{x_1= \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in \mathbb{Z} } \\ \\ \\ tgx= \dfrac{2-4}{2\cdot3} =- \dfrac{1}{3} ;~~~~\Rightarrow~~~~\boxed{x_2=-arctg\bigg(\dfrac{1}{3} \bigg)+\pi n,n \in \mathbb{Z}}$