Алгебра: за решение тригонометрического уравнения

1)При решении логарифмических уравнений всегда сначала нужно находить область определения. Аргумент логарифма всегда должен быть положительным, а основание - не только положительным, но и неравным единице. С основаниями всё в порядке, поскольку - это логарифм с основанием 10. Теперь с аргументами. 12 и 6 положительны, а вот у логарифма в левой части уравнения в аргументе находится переменная, а потому область определения является решением неравенства:Нули: . + ...

за решение тригонометрического уравнения

👇

Увидеть ответ

Ответ:

LIONVIP

10.02.2020

$5^{4sin^2x}\cdot 7^{2sinx-1}=5\\\\5^{4sin^2x}\cdot 5^{log_57^{2sinx-1}}=5\\\\5^{4sin^2x}\cdot 5^{(2sinx-1)\cdot log_57}=5\\\\4sin^2x+(2sinx-1)\cdot log_57=1\\\\4sin^2x+2\, log_57\cdot sinx-log_57-1=0\\\\t=sinx\; ,\; \; -1\leq t\leq 1\; \; ,\; \; 4t^2+2\, log_57\cdot t-log_57-1=0\; ,\\\\D/4=log_5^27+4(log_57+1)=log_5^27+4log_57+4=(log_57+2)^2\\\\t_1=\frac{-log_57-(log_57+2)}{4}=\frac{-2log_57-2}{4}=-\frac{log_57+2}{2}1)\\\\t_2=\frac{-log_57+(log_57+2)}{4}=\frac{1}{2}$

$sinx=\frac{1}{2}\; \; ,\; \; \underline {\; x=(-1)^{n}\cdot \frac{\pi}{6}+\pi n\; ,\; n\in Z\; }$

4,7(39 оценок)

Ответ:

Aldatik

10.02.2020

ответ: во вложении Объяснение:

за решение тригонометрического уравнения

4,4(100 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

olgaslizova

10.02.2020

Объяснение:

Как найти область определения функции?

Примеры решений

Если где-то нет чего-то, значит, где-то что-то есть

Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия – Область определения функции. Активное обсуждение данного понятия началось в статье о множествах и продолжилось на первом уроке о графиках функций, где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах.

Предполагается, читатель знает область определения следующих функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, синуса, косинуса. Они определены на (множестве всех действительных чисел). За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) – более редкие графики запоминаются далеко не сразу.

Область определения – вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной, навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ.

Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения – это множество значений «икс», для которых существуют значения «игреков». Рассмотрим условный пример:

Область определения функции

Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:

(для тех, кто позабыл: – значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».

Грубо говоря, где область определения – там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения и графика там нет.

Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статьям Множества и действия над ними, Графики и свойства элементарных функций.

Как найти область определения функции? Многие помнят детскую считалку: «камень, ножницы, бумага», и в данном случае её можно смело перефразировать: «корень, дробь и логарифм». Таким образом, если вам на жизненном пути встречается дробь, корень или логарифм, то следует сразу же очень и очень насторожиться! Намного реже встречаются тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, и о них мы тоже поговорим. Но сначала зарисовки из жизни муравьёв:

Область определения функции, в которой есть дробь

Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь . Как вы знаете, на ноль делить нельзя: , поэтому те значения «икс», которые обращают знаменатель в ноль – не входят в область определения данной функции.

Не буду останавливаться на самых простых функциях вроде и т.п., поскольку все прекрасно видят точки, которые не входят в их области определения. Рассмотрим более содержательные дроби

4,6(16 оценок)

Ответ:

anya0207

10.02.2020

$\lg\left(6x^2+x\right) = \lg12 - \lg6$

При решении логарифмических уравнений всегда сначала нужно находить область определения. Аргумент логарифма всегда должен быть положительным, а основание - не только положительным, но и неравным единице. С основаниями всё в порядке, поскольку $\lg$ - это логарифм с основанием 10. Теперь с аргументами. 12 и 6 положительны, а вот у логарифма в левой части уравнения в аргументе находится переменная, а потому область определения является решением неравенства:

$6x^2 + x 0\\\\x(6x + 1) 0$

Нули: $0; -\dfrac{1}{6}$ .

+ - +

--------------------о---------------------------о-----------------------> x

$-\dfrac{1}{6}$

Таким образом, запишем область определения функции:

$\lg\left(6x^2+x\right) = \lg12-\lg6\ \ \ \ \ \Big|\ x\in\left(-\infty; -\dfrac{1}{6}\right)\cup\left(0; +\infty)$

По свойству логарифма: $\log_ab - \log_ac = \log_a\dfrac{b}{c}$ , тогда для нашего случая:

$\lg\left(6x^2+x\right) = \lg\dfrac{12}{6}\\\\\lg\left(6x^2+x\right) = \lg2$

Так как основания логарифмов одинаковые, мы можем приравнять аргументы.

$6x^2 + x = 2\\\\6x^2 + x - 2 = 0\\\\D = b^2 - 4ac = 1 + 48 = 49\\\\x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1+7}{12} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\\\\\\x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1-7}{12} = \dfrac{-8}{12} = -\dfrac{2}{3}$

Оба корня входят в выведенную нами область определения, а потому они оба являются решениями уравнения.

ответ: $-\dfrac{2}{3};\ \dfrac{1}{2}$ .

$\log_5(3-x) - \log_5(x+2) = 2\log_52$

Для нахождения области определения проверяем каждое расписанное мной сверху свойство для каждого логарифма. В итоге должно получиться:

$\begin{equation*}\begin{cases}3-x 0\\x + 2 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x < 3\\x -2\end{cases}\end{equation*}$

$\log_5(3-x) - \log_5(x+2) = 2\log_52\ \ \ \ \ \Big|\ x\in(-2;\ 3)$

Теперь воспользуемся двумя свойствами логарифмов. Первое мы применяли в уравнении, а второе: $k\cdot\log_ab = \log_ab^k$ .

$\log_5\left(\dfrac{3-x}{x+2}\right) = \log_52^2\\\\\\\log_5\left(\dfrac{3-x}{x+2}\right) = \log_54\\\\\\\dfrac{3-x}{x+2} = 4$

По основному свойству пропорции:

$3-x = 4(x+2)\\\\3 - x = 4x + 8\\\\-5x = 5\ \ \ \ \ \Big| :(-5)\\\\x = -1$

Корень входит в область определения, а значит, является решением уравнения.

ответ: -1.

$\log_3(x-2) + \log_3(x+6) = 2$

Уже по стандарту находим область определения.

$\begin{equation*}\begin{cases}x - 2 0\\x + 6 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x 2\\x -6\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Rightarrow\ \boxed{\bf{x2}}$

$\log_3(x-2) + \log_3(x+6) = 2\ \ \ \ \ \Big|\ x\in(2; +\infty)$

Воспользуемся свойством логарифма: $\log_ab + \log_ac = \log_abc$ . Двойку в правой части нам нужно заменить на тождественный ей логарифм по основанию 3, таким будет $\log_39$ .

$\log_3\left((x-2)(x+6)\right) = \log_39\\\\(x-2)(x+6) = 9\\\\x^2 + 6x - 2x - 12 - 9 = 0\\\\x^2 + 4x - 21 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_1x_2 = -21\\x_1+x_2 = -4\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = -7; x = 3$

А теперь внимание, то, зачем мы искали область определения. Напомню, она у нас была . Найденный нами корень -7 в этот промежуток не входит, а потому решением уравнения НЕ ЯВЛЯЕТСЯ. С корнем 3 же всё нормально, а значит, уравнение имеет одно решение.

ответ: 3.

$\log_2\left(2-x^2\right) - \log_2(-x) = 0$

Область определения:

$\begin{equation*}\begin{cases}2-x^2 0\\-x 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}\left(\sqrt{2}-x\right)\left(\sqrt{2}+x\right) 0\\x < 0\end{cases}\end{equation*}$

Верхнее неравенство решим отдельно.

Нули: $\sqrt{2}\ ;-\sqrt{2}$ .

- + -

-----------------------о---------------------------о-----------------------> x

$-\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$

$\begin{equation*}\begin{cases}x \in \left(-\sqrt{2}\ ;\sqrt{2}\right)\\x$

0 - это логарифм с аргументом 1, при этом основание может быть любым допустимым. Например, 2, как в нашем случае: $0 = \log_21$ . Пользуемся тем же свойством.

$\log_2\left(\dfrac{2-x^2}{-x}\right) = \log_21\\\\\\\dfrac{2-x^2}{-x} = 1$

Откуда получаем, что:

$2 - x^2 = -x\\\\-x^2 + x + 2 = 0\ \ \ \ \ \Big| \cdot(-1)\\\\x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_1x_2 = -2\\x_1+x_2 = 1\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = 2; x = -1$

Опять сравниваем с областью определения. Легко заметить, что 2 в неё не входит, а значит, НЕ ЯВЛЯЕТСЯ РЕШЕНИЕМ. А -1 входит туда, поэтому уравнение имеет одно решение.

ответ: -1.

4,5(34 оценок)

Это интересно:

Здоровье

06.07.2021

Как повысить либидо: простые способы улучшения сексуальной жизни...

01.10.2020

Как встречаться с парнем из другой школы: советы и техники...

Стиль-и-уход-за-собой

21.06.2021

Как блокировать удар: советы от профессионалов для самозащиты...

Финансы-и-бизнес