Question

41.7. Напишите формулу какой-либо функции f(x), производная ко-
торой равна:
1) 4х^3 + 6х^2 – 2корень из 3;
2) 1/2х^3 – 3х^2 –корень из 3x;
3) 5х^3 — 0,6х^2 + корень из 7x — 4;
4)-5/x^3 + x^4 - 7;
5) - 5/x^4 + 3x^4 — 7х + 1;
6) корень из 5/3 + 5/x^3 — x^6 - 7x.​

Answer 1

1) Для нахождения функции f(x), производная которой равна 4x^3 + 6x^2 – 2√3, мы должны найти первообразную этой функции.

Сначала мы найдем первообразную для каждого слагаемого по отдельности:
- Интеграл от 4x^3 dx: Используя формулу для степенной функции, мы знаем, что интеграл от x^n dx это (1/(n+1)) * x^(n+1). В данном случае, n = 3, поэтому мы получаем (1/4) * x^4.
- Интеграл от 6x^2 dx: Применяя аналогичную формулу, получаем (1/3) * x^3.
- Интеграл от -2√3 dx: Интеграл от константы равен произведению этой константы на переменную, поэтому мы получаем -2√3x.

Теперь, сложив все три слагаемых, мы получаем первообразную функции: f(x) = (1/4) * x^4 + (1/3) * x^3 - 2√3x + C, где C - произвольная константа.

2) Аналогично первому пункту, мы находим первообразную для каждого слагаемого:
- Интеграл от (1/2)x^3 dx: Следуя формуле степенной функции, получаем (1/2) * (1/4) * x^4 = (1/8) * x^4.
- Интеграл от -3x^2 dx: С помощью формулы степенной функции, получаем -3 * (1/3) * x^3 = -x^3.
- Интеграл от -√3x dx: Получаем -√3 * (1/2) * x^2 = -√3 * x^2.

Сложив все три слагаемых, мы получаем первообразную функции: f(x) = (1/8) * x^4 - x^3 - √3x + C.

3) Найдем первообразную для каждого слагаемого:
- Интеграл от 5x^3 dx: С помощью формулы степенной функции, получаем (5/4) * x^4.
- Интеграл от -0,6x^2 dx: Применяя аналогичную формулу, получаем -0,6 * (1/3) * x^3 = -0,2x^3.
- Интеграл от √7x dx: Получаем √7 * (1/2) * x^2 = (√7/2) * x^2.
- Интеграл от -4 dx: Получаем -4x.

Сложив все четыре слагаемых, мы получаем первообразную функции: f(x) = (5/4) * x^4 - 0,2x^3 + (√7/2) * x^2 - 4x + C.

4) Для нахождения первообразной этой функции, нам понадобится заменить -5/x^3 на -5x^(-3).
- Интеграл от -5x^(-3) dx: Используя формулу для степенной функции, получаем -5 * (1/(-2)) * x^(-2) = 5/2x^(-2).
- Интеграл от x^4 dx: С помощью формулы степенной функции, получаем (1/5) * x^5.
- Интеграл от -7 dx: Получаем -7x.

Сложив все три слагаемых, мы получаем первообразную функции: f(x) = 5/2x^(-2) + (1/5) * x^5 - 7x + C.

5) Для нахождения первообразной этой функции, нам также понадобится заменить -5/x^4 на -5x^(-4).
- Интеграл от -5x^(-4) dx: Используя формулу для степенной функции, получаем -5 * (1/(-3)) * x^(-3) = 5/3x^(-3).
- Интеграл от 3x^4 dx: Получаем (3/5) * x^5.
- Интеграл от -7x dx: Получаем -7/2 * x^2.

Сложив все три слагаемых, мы получаем первообразную функции: f(x) = 5/3x^(-3) + (3/5) * x^5 - 7/2 * x^2 + C.

6) Найдем первообразную для каждого слагаемого:
- Интеграл от √5/3 dx: Интеграл от константы равен произведению этой константы на переменную, поэтому мы получаем (√5/3) * x.
- Интеграл от 5/x^3 dx: Используя формулу для степенной функции, получаем 5 * (1/(-2)) * x^(-2) = -5/2x^(-2).
- Интеграл от -x^6 dx: Применяя формулу степенной функции, получаем -1 * (1/7) * x^7 = -1/7 * x^7.
- Интеграл от -7x dx: Получаем -7/2 * x^2.

Сложив все четыре слагаемых, мы получаем первообразную функции: f(x) = (√5/3) * x - 5/2x^(-2) - 1/7 * x^7 - 7/2 * x^2 + C.

Это является примером решения задачи по нахождению первообразной для каждой функции. Решение данной задачи позволяет найти функцию f(x), производная которой равна соответствующим выражениям. Оно может быть использовано для решения подобных задач в математике и физике.