Question

При каких значениях а уравнение
(x² - (3a + 1)x + 2a² + a)(x² + (2a - 1)x - 3a² + a) = 0
имеет три различных корня разобрать подробно се варианты)

Answer 1

a∉{0;±1;0,25}

Объяснение:

(x² - (3a + 1)x + 2a² + a)(x² + (2a - 1)x - 3a² + a) = 0

Чтобы данное уравнение имело не менее трёх корней необходимо чтобы одно из уравнений

1) x² - (3a + 1)x + 2a² + a=0

2) x² + (2a - 1)x - 3a² + a=0

имело не менее одного, а второе не менее двух корней.

D₁=(-(3a + 1))² -4(2a² + a)=9a²+6a+1-8a²-4a=a²+2a+1=(a+1)²

D₂=(2a - 1)² -4(- 3a² + a)=4a² -4a+1+12a²-4a=16a²-8a+1=(4a-1)²

Очевидно,что D₁≥0 и D₂≥0.

1) D₂>0 и D₁=0⇒а=-1

x₁=(3a + 1)/2=-1

x₂,₃=(-(2a - 1)±(4a-1))/2

x₂=(-(2a - 1)+(4a-1))/2=a=-1

x₃=(-(2a - 1)-(4a-1))/2=1-3a=4

2) D₁>0 и D₂=0 ⇒а=0,25

x₁,₂=((3a + 1)±(a+1))/2=(1,75±1,25)/2

x₁,₂=(1,75-1,25)/2=0,25

x₁,₂=(1,75+1,25)/2=1,5

x₃=-(2a - 1)/2=0,25

3) D₁>0 и D₂>0

x₁,₂=((3a + 1)±(a+1))/2-два разных корня, x₃,₄=(-(2a - 1)±(4a-1))/2-два разных корня.

Теперь же нужно разобрать случай равенства одного из двух корней x₁,₂ с одним из двух корней x₃,₄

1)  ((3a + 1)+(a+1))/2=(-(2a - 1)+(4a-1))/2

4a+2=2a

a=1

2) ((3a + 1)+(a+1))/2=(-(2a - 1)-(4a-1))/2

4a+2=-6a+2

a=0

3) ((3a + 1)-(a+1))/2=(-(2a - 1)+(4a-1))/2

2a=2a

∀a

4) ((3a + 1)-(a+1))/2=(-(2a - 1)-(4a-1))/2

2a=-6a+2

a=0,25

В итоге можно сказать, что уравнение имеет не более трёх различных корней. Получается оно имеет ровно три различных корня при выполнении след. условий.

a∉{0;±1;0,25}