Question

Найти частные производные 2 порядка)​

Answer 1

$z=ln(x+e^{xy})\\\\z'_{x}=\dfrac{1}{x+e^{xy}}\cdot (1+y\cdot e^{xy})\\\\\\z''_{xx}=\dfrac{y^2\cdot e^{xy}\cdot (x+e^{xy})-(1+y\cdot e^{xy})\cdot (1+y\cdot e^{xy})}{(x+e^{xy})^2}=\dfrac{ye^{xy}(xy-2)-1}{(x+e^{xy})^2}\\\\\\z''_{xy}=\dfrac{(e^{xy}+yx\, e^{xy})(x+e^{xy})-(1+ye^{xy})\, e^{xy}\, x}{(x+e^{xy})^2}=\dfrac{e^{2xy}(1-xy)+xye^{xy}(x+1)}{(x+e^{xy})^2}$

$z'_{y}=\dfrac{1}{x+e^{xy}}\cdot xe^{xy}\\\\\\z''_{yy}=\dfrac{x^2\, e^{xy}(x+e^{xy})-x^2e^{xy}\cdot e^{xy}}{(x+e^{xy})^2}=\dfrac{x^3\, e^{xy}}{(x+e^{xy})^2}\\\\\\z''_{yx}=z''_{xy}$