Question

Знайди, в якій точці графіка функції y=f(x) дотична паралельна заданій прямій:

y=5+3x, f(x)=x^3/3−4x^2+19x−7.

Відповідь (при необхідності округли з точністю до десятих):

дотична паралельна заданій прямій в точці з координатами

Answer 1

(4; $\frac{79}{3}$)

Объяснение:

Дотична може бути паралельна заданій прямій, якщо їх кутові коефіцієнти рівні між собою. Кажучи простими словами, спочатку нам потрібно знайти точку в якій похідна рівна 3 (y = 5 +3х ).

Знайдемо похідну від f(x) = x^3/3−4x^2+19x−7:

f'(х) = x^2 - 8x + 19

Прирівнюємо дане квадратне рівняння до похідної прямої ( y = 5 +3х; у' = 3):

x^2 -8x + 19 = 3

x^2-8x + 16 = 0

Згідно т.Вієта:

x1+x2 = 8

x1*x2 = 16

x1 = 4; х2 = 4

Але це тільки абсциса, щоб знайти ординати потрібно підставити знайдені точки в рівняння функції:

f(4) = $\frac{4^{3} }{3} -4*4^{2} + 19*4 - 7 = \frac{64}{3} -64+69 = \frac{64}{3} +5 = \frac{79}{3}$

По суті, у нас два кореня рівняння x1 = 4 і x2 = 4 і ми повинні були записати дві точки, однак оскільки у нас відбулося співпадіння точок, то у відповідь можна записати одну, тобто (4; $\frac{79}{3}$)