1. Для первого значения аргумента функция является непрерывной, т.к. подставляя значения аргумента в уравнение получим: 9/2 - это число, слудовательно, условие существования функции соблюдено. Для второго - разрывна, так как знаменатель оюращается в ноль, на ноль делить нельзя в школьной программе.
2. Из последнего предложение следует, что точка 2 - точка разрыва функции, тогда сможем найти лево- и правосторонние пределы: lim x to 2- = 9/ 0- = - бесконечность
lim х to 2+ = 9/0+ = + бесконечность
Нахождение области определения функции
все кроме x=0
Исследование поведения функции на границе области определения
limf(x) при x__0=(4-x^3)/0=+бесконечность
Исследование функции на четность или нечетность
F(-x)=4-(-x)^3/(-X)^2=4+x^3/X^2 функция не является ни четной ни нечетной те общего типа
определить промежутки возрастания и убывания функции
F'(x)=((4-X^3)'*x^2-(X^2)'*(4-x^3))/x^4=-(x^4+4x)/x^4=-(x^3+4)/X^3
стационарная точка (где числитель в нуль) при X=корень кубический из 4
нуль знаменателя это X=0 критическая точка
рисуем координатную прямую ставим на ней точки 0 и корень кубический из 4
определяем знаки в промежутках ,
F'(-2)=-(-4/-8)=-1/2 слева до нуля -
F'(1)=-5/1=-5 от нуля до корня кубического из 4-
F'(2)= -12/8 от кубического корня до -
функция монотонна и убывает
промежутки вогнутости и выпуклости функции
F''(x)=-((x^3+4)'*x^3-(x^3)'*(x+4))/x^6=-3x^3-3/x^4
исследуемые точки x=0 x =-1
ставим их на прямую проверяем промежутки
до -1 знак - функция вогнута
от -1 до 0 знак + функция выгнута
от 0 до + бесконечности - функция вогнута
точка x=-1 точка перегиба
рисуем график
Объяснение:
1.
а) 21a>21b; б) -3,2a<-3,2b; в) a+8>b+8
2.
а) (x+7)²>x(x+14)
x²+14x+49>x²+14x
x²+14x+49-x²-14x>0; 49>0⇒x∈(-∞; +∞)
б) b²+5≥10(b-2)
b²+5≥10b-20
b²+5-10b+20≥0
b²-10b+25≥0
Допустим:
b²-10b+25=0; D=100-100=0
b=10/2=5
При b<5: b=0; 0²+5≥10(0-2); 5>-20⇒неравенство выполняется.
При b>5: b=10; 10²+5≥10(2-10); 105>-80⇒неравенство выполняется.
Следовательно, -∞<b<+∞⇒b∈(-∞; +∞).
3.
а) 3·3,1<3√10<3·3,2; 9,3<3√10<9,6
б) -3,1>-√10>-3,2
4.
а) 7,2·2=14,4; 8,4·2,5=42/5 ·5/2=21
Отсюда следует: 14,4<ab<21
б) -2·7,2+2=-14,4+2=-12,2; -2·8,4+2,5=-16,8+2,5=-14,3
Отсюда следует: -12,2>-2a+b>-14,3
в) 7,2/2=3,1; 8,4/2,5=3,36
Отсюда следует: 3,1<a/b<3,36
5.
Периметр прямоугольника: P=2(a+b)
2(1,5+3,2)=2·4,7=9,4; 2(1,6+3,2)=2·4,8=9,6
Отсюда следует: 9,4<2(a+b)<9,6
Площадь прямоугольника: S=ab
1,5·3,2=3/2 ·16/5=48/10=4,8; 1,6·3,2=8/5 ·16/5=128/25=5,12
Отсюда следует: 4,8<ab<5,12
6.
При a>0:
(a+2)/a +(a+2)/2≥4
2a+4+a²+2a≥8a
a²+4a+4-8a≥0
a²-4a+4≥0; D=16-16=0
a=4/2=2
При a>0: a=1; (1+2)/1 +(1+2)/2≥4; 3 +3/2≥4; 4,5>4⇒неравенство выполняется.
При a<0: a=-1; (-1+2)/(-1) +(-1+2)/2≥4; -1 +1/2≥4; -0,5<4⇒неравенство не выполняется.
При a>2: a=10; (10+2)/10 +(10+2)/2≥4; 1,2+6≥4; 7,2>4⇒неравенство выполняется.
Следовательно, при a>0 неравенство выполняется, где a∈(0; +∞).