6. Существует ли натуральное число n, такое что n^2 + n + 1 делится на 2015?
Для решения этой задачи необходимо разложить число 2015 на простые множители и использовать известные свойства чисел.
Сначала разложим число 2015 на простые множители. Мы получим: 2015 = 5 * 13 * 31.
По свойству делимости суммы: если число a делится на число b и число b делится на число c, то число a также делится на число c.
Теперь давайте рассмотрим квадратный трехчлен n^2 + n + 1. Мы хотим узнать, существует ли такое натуральное число n, чтобы этот трехчлен был кратен числу 2015. Давайте подставим различные значения n и проверим его делимость на 2015:
При n = 1: 1^2 + 1 + 1 = 3. Не делится.
При n = 2: 2^2 + 2 + 1 = 7. Не делится.
При n = 3: 3^2 + 3 + 1 = 13. Не делится.
При n = 4: 4^2 + 4 + 1 = 21. Не делится.
...
При n = 31: 31^2 + 31 + 1 = 991. Не делится.
Мы видим, что ни одно из чисел не делится на 2015. Это означает, что натурального числа n, для которого n^2 + n + 1 делится на 2015, не существует.
7. Найти последнюю цифру числа 11^3 + 12^3 + 13^3 + . . . + 99^3
Для решения этой задачи, нам необходимо найти сумму кубов чисел от 11 до 99 и определить последнюю цифру полученной суммы.
Найдем сначала сумму кубов чисел от 1 до 9 для упрощения вычислений:
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 9^3 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 = 2025.
Теперь рассмотрим сумму кубов чисел от 10 до 99. Каждое число вида XY, где X - десятки, Y - единицы, можно представить в виде (10*X+Y). Используя это, мы можем записать сумму кубов чисел от 10 до 99:
(10^3 + 11^3 + 12^3 + ... + 98^3 + 99^3) = (10^3 + 1^3 + 2^3 + ... + 9^3) + 10*(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 9^3) + 10^2*(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 9^3).
Мы знаем, что сумма кубов чисел от 1 до 9 равна 2025. То есть, сумма кубов чисел от 10 до 99 равна:
2025 + 10*2025 + 100*2025 = 2025 * (1 + 10 + 100) = 2025 * 111 = 225675.
Последняя цифра этой суммы равна последней цифре числа 225675, то есть цифре 5.
Итак, ответ на второй вопрос - последняя цифра числа 11^3 + 12^3 + 13^3 + . . . + 99^3 равна 5.
6. Существует ли натуральное число n, такое что n^2 + n + 1 делится на 2015?
Для решения этой задачи необходимо разложить число 2015 на простые множители и использовать известные свойства чисел.
Сначала разложим число 2015 на простые множители. Мы получим: 2015 = 5 * 13 * 31.
По свойству делимости суммы: если число a делится на число b и число b делится на число c, то число a также делится на число c.
Теперь давайте рассмотрим квадратный трехчлен n^2 + n + 1. Мы хотим узнать, существует ли такое натуральное число n, чтобы этот трехчлен был кратен числу 2015. Давайте подставим различные значения n и проверим его делимость на 2015:
При n = 1: 1^2 + 1 + 1 = 3. Не делится.
При n = 2: 2^2 + 2 + 1 = 7. Не делится.
При n = 3: 3^2 + 3 + 1 = 13. Не делится.
При n = 4: 4^2 + 4 + 1 = 21. Не делится.
...
При n = 31: 31^2 + 31 + 1 = 991. Не делится.
Мы видим, что ни одно из чисел не делится на 2015. Это означает, что натурального числа n, для которого n^2 + n + 1 делится на 2015, не существует.
7. Найти последнюю цифру числа 11^3 + 12^3 + 13^3 + . . . + 99^3
Для решения этой задачи, нам необходимо найти сумму кубов чисел от 11 до 99 и определить последнюю цифру полученной суммы.
Найдем сначала сумму кубов чисел от 1 до 9 для упрощения вычислений:
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 9^3 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 = 2025.
Теперь рассмотрим сумму кубов чисел от 10 до 99. Каждое число вида XY, где X - десятки, Y - единицы, можно представить в виде (10*X+Y). Используя это, мы можем записать сумму кубов чисел от 10 до 99:
(10^3 + 11^3 + 12^3 + ... + 98^3 + 99^3) = (10^3 + 1^3 + 2^3 + ... + 9^3) + 10*(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 9^3) + 10^2*(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 9^3).
Мы знаем, что сумма кубов чисел от 1 до 9 равна 2025. То есть, сумма кубов чисел от 10 до 99 равна:
2025 + 10*2025 + 100*2025 = 2025 * (1 + 10 + 100) = 2025 * 111 = 225675.
Последняя цифра этой суммы равна последней цифре числа 225675, то есть цифре 5.
Итак, ответ на второй вопрос - последняя цифра числа 11^3 + 12^3 + 13^3 + . . . + 99^3 равна 5.