Question

Пусть A=1n+1+1n+2+…+12n . Выберите утверждения, верные для всех натуральных n>1.

Answer 1

Добрый день! Я рад выступить в роли вашего школьного учителя и помочь вам с этим заданием. Давайте посмотрим на утверждения, сформулированные в вопросе и проверим каждое из них:

Утверждение 1: A делится на 12.

Чтобы проверить это утверждение, давайте разложим каждый из слагаемых в сумме на множители и посмотрим на их общие множители.

Пусть n>1, тогда сумма A имеет вид:
A = 1n + 1 + 1n + 2 + … + 1n + 12

Разложим каждое из слагаемых на множители:
1n + 1 = n
1n + 2 = 2n + 1
1n + 3 = 3(n + 1)
...
1n + 12 = 12(n + 1)

Теперь давайте заменим каждое слагаемое согласно его разложению и просуммируем:
A = n + 2n + 1 + 3(n + 1) + ... + 12(n + 1)
= (1 + 2 + 3 + ... + 12)(n + 1)

Сумма чисел от 1 до 12 равна (12 * 13)/2 = 78.
Таким образом, A = 78(n + 1).

Мы видим, что A = 78(n + 1) является произведением числа 78 и некоторого целого числа (n + 1). Важно отметить, что 78 делится на 12, поэтому A также делится на 12.

Таким образом, утверждение 1 верно для всех натуральных n>1.

Утверждение 2: A делится на 6.

Аналогично первому утверждению, давайте разложим каждое слагаемое на множители и проверим их общие множители:

Пусть n>1, тогда сумма A имеет вид:
A = 1n + 1 + 1n + 2 + … + 1n + 12

Разложим каждое слагаемое на множители:
1n + 1 = n
1n + 2 = 2n + 1
1n + 3 = 3(n + 1)
...
1n + 12 = 12(n + 1)

Заменим каждое слагаемое согласно его разложению и просуммируем:
A = n + 2n + 1 + 3(n + 1) + ... + 12(n + 1)
= (1 + 2 + 3 + ... + 12)(n + 1)

Сумма чисел от 1 до 12 равна (12 * 13)/2 = 78.
Таким образом, A = 78(n + 1).

Мы видим, что A = 78(n + 1) является произведением числа 78 и некоторого целого числа (n + 1). Важно отметить, что 78 делится на 6, поэтому A также делится на 6.

Таким образом, и утверждение 2 верно для всех натуральных n>1.

Вывод:
Оба утверждения 1 и 2 верны для всех натуральных n>1.

Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я готов помочь вам дальше.