Для решения данной задачи сначала нужно разобраться с определениями и свойствами, которые будут использоваться.
1. НОК (наименьшее общее кратное) - это наименьшее число, которое делится и на первое число, и на второе число.
2. Разложение числа на простые множители - это представление числа в виде произведения простых чисел.
3. Свойство 1: НОК(а: b) = а / НОД(а, b), где НОД - наибольший общий делитель.
Теперь, перейдем к решению задачи:
1. Дано равенство: НОК(a: 266) = 266
2. По свойству 1, получаем: a / НОД(a, 266) = 266
3. Чтобы продолжить решение, нам понадобится знание о разложении числа 266 на простые множители.
266 = 2 * 7 * 19
4. Для того, чтобы НОД был равен 1, два числа (а и 266) не должны иметь общих простых делителей.
С другой стороны, a должно делиться на 2, 7 и 19 (так как 266 делится на эти числа и еще на 1).
5. Для начала найдем все значения a, которые делятся на 2 и НОД(а, 266) = 1.
Такие числа будут составлять арифметическую прогрессию с шагом 2.
Наименьшее число, которое удовлетворяет условию - это a = 2.
6. Также найдем все значения a, которые делятся на 7 и НОД(а, 266) = 1.
Такие числа также будут составлять арифметическую прогрессию с шагом 7.
Наименьшее такое число - это a = 7.
7. Наконец, найдем все значения a, которые делятся на 19 и НОД(а, 266) = 1.
Опять же, такие числа образуют арифметическую прогрессию с шагом 19.
Наименьшее такое число - a = 19.
8. Подводя итог, сумма всех чисел a, которые удовлетворяют равенству НОК(a: 266) = 266,
равна сумме элементов арифметической прогрессии: 2 + 7 + 19.
2 + 7 + 19 = 28
Ответ: сумма всех натуральных чисел a, для которых выполняется равенство НОК(a: 266) = 266, равна 28.
Для начала, давайте выразим одну переменную через другую в одном из уравнений. В данном случае мы можем выразить a/b через ab во втором уравнении:
ab + a/b = 10
Умножим обе части уравнения на b, чтобы избавиться от знаменателя:
(ab)(b) + (a/b)(b) = 10(b)
ab^2 + a = 10b
Теперь можно выразить a через ab:
a = 10b - ab^2
Теперь в первом уравнении заменим переменную a на 10b - ab^2:
2ab - 3(10b - ab^2)/b = 15
2ab - 30 + 3ab = 15b
Соберем все члены с переменной ab в одну сторону и все числовые члены в другую:
2ab + 3ab - 15b = 30
5ab - 15b = 30
Делаем общую часть в левой стороне:
5ab - 15b = 5b(a - 3) = 30
Теперь разделим обе части уравнения на (a - 3):
5b(a - 3)/(a - 3) = 30/(a - 3)
5b = 30/(a - 3)
Таким образом, мы получили значение b:
b = 6/(a - 3)
Теперь, чтобы найти значение a, подставим выражение для b в любое из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение:
ab + a/b = 10
Подставим b = 6/(a - 3):
a(6/(a - 3)) + a/(6/(a - 3)) = 10
Решим это уравнение методом приведения к общему знаменателю:
6a/(a - 3) + (a - 3)(a/(6/(a - 3))) = 10
6a/(a - 3) + a = 10
Умножим оба члена первой дроби на (a - 3), чтобы избавиться от знаменателя:
6a + a(a - 3) = 10(a - 3)
6a + a^2 - 3a = 10a - 30
Соберем все члены с переменной a в одну сторону и все числовые члены в другую:
a^2 + 3a - 10a + 6a - 30 = 0
a^2 - a - 30 = 0
Это квадратное уравнение. Решим его, используя факторизацию или квадратное уравнение:
(a - 6)(a + 5) = 0
Таким образом, получили два возможных значения для a: a = 6 или a = -5.
Подставим каждое из этих значений обратно в уравнение для b:
Для a = 6:
b = 6/(6 - 3) = 6/3 = 2
Итак, одно из решений системы уравнений: a = 6, b = 2.
Для a = -5:
b = 6/(-5 - 3) = 6/-8 = -3/4
Итак, второе решение системы уравнений: a = -5 и b = -3/4.
Таким образом, система уравнений имеет два решения: (a = 6, b = 2) и (a = -5, b = -3/4).