Графически это выглядит следующим образом (см. вложение). Нам нужна площадь области, выделенной красным цветом (честно говоря, полчаса соображал, как это сделать в программе, чтобы она меня поняла)).
Алгоритм такой: 0. Обе параболы поднимаются на 1 единицу вверх, чтобы мы могли вычислить определённый интеграл (он ограничен осью x). Площадь фигуры при этом не изменится, так что всё нормально. 1. Вычисляется площадь фигуры под ; 2. Теперь — под ; 3. Разность площадей и будет искомой фигурой.
По дороге ещё придётся найти нули функции, т. к. для определённого интеграла нужна область вычисления.
Поехали.
1)
2)
3) (кв. ед.)
Вроде бы так... :) Попробую сейчас проверить решение.
;
;
и будет искомой фигурой.
(кв. ед.)
1. Преобразуем уравнение:
4х^2 + 12х + 12/х + 4/х^2 = 47;
4(х^2 + 2 + 1/x^2) - 8 + 12(х + 1/х) - 47 = 0;
4(х + 1/x)^2 + 12(х + 1/х) - 55 = 0.
2. Замена:
х + 1/x = t;
4t^2 + 12t - 55 = 0;
D/4 = 6^2 + 4 * 55 = 36 + 220 = 256 = 16^2;
t = (-6 ± 16)/4;
t1 = (-6 - 16)/4 = -22/4 = -11/2;
t2 = (-6 + 16)/4 = 10/4 = 5/2.
3. Обратная замена:
х + 1/x = t;
х^2 + 1 = tx;
х^2 - tx + 1 = 0;
1) t = -11/2;
х^2 + 11/2 * x + 1 = 0;
2х^2 + 11x + 2 = 0;
D = 11^2 - 4 * 2 * 2 = 121 - 16 = 105;
x1/2 = (-11 ± √105)/4;
2) t = 5/2;
х^2 - 5/2 * x + 1 = 0;
2х^2 - 5x + 2 = 0;
D = 5^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9;
x = (5 ± √9)/4 = (5 ± 3)/4;
x3 = (5 - 3)/4 = 2/4 = 1/2;
x4 = (5 + 3)/4 = 8/4 = 2.
ответ: (-11 ± √105)/4; 1/2; 2.