Question

Определить An4, если пятое слагаемое разложения (3√x +1/x) n не зависит от x

Answer 1

Чтобы определить An4 в разложении (3√x +1/x) n, необходимо разложить выражение (3√x +1/x) n в по формуле бинома Ньютона и найти четвёртый член разложения.

Формула бинома Ньютона имеет вид:
(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, k) * a^(n-k) * b^k + ... + C(n, n) * a^0 * b^n,

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n-k)!), а n! - факториал числа n.

В данном случае наше выражение (3√x +1/x) n можно представить как (a + b) n, где:
a = 3√x,
b = 1/x.

Теперь применяем формулу бинома Ньютона к (a + b) n:
(3√x +1/x) n = C(n, 0) * (3√x)^n * (1/x)^0 + C(n, 1) * (3√x)^(n-1) * (1/x)^1 + C(n, 2) * (3√x)^(n-2) * (1/x)^2 + ... + C(n, k) * (3√x)^(n-k) * (1/x)^k+ ... + C(n, n) * (3√x)^0 * (1/x)^n.

Теперь нам нужно найти пятое слагаемое, т.е. An4, при k=4.
An4 = C(n, 4) * (3√x)^(n-4) * (1/x)^4.

Так как в вопросе сказано, что пятое слагаемое не зависит от x, то нужно найти значение An4, при котором (3√x)^(n-4) * (1/x)^4 не зависит от x.

(3√x)^(n-4) * (1/x)^4 = (3√x)^(n-4) * (1^4 / x^4) = (3√x)^(n-4) / x^4.

Теперь необходимо найти такое значение n, при котором выражение (3√x)^(n-4) / x^4 не зависит от x.

Чтобы выражение не зависело от x, нужно, чтобы степень подкоренного выражения (3√x) была равна степени основания x, т.е. (n-4) = 4, откуда получаем n = 8.

Итак, чтобы пятое слагаемое разложения (3√x +1/x) n не зависело от x, необходимо, чтобы n = 8.

Подставляем n=8 в формулу разложения (3√x +1/x) n и находим An4:
A84 = C(8, 4) * (3√x)^(8-4) * (1/x)^4 = C(8, 4) * (3√x)^4 * (1/x)^4,

Таким образом, An4 в данном случае равно C(8, 4) * (3√x)^4 * (1/x)^4.