Question

Найдите значение выражения ctg^2 a*cos^2 a+cos^2 a- ctg^2 a, при a=π/3

Answer 1

Для того чтобы найти значение данного выражения, мы подставим вместо "a" значение π/3.

Исходное выражение:
ctg²a * cos²a + cos²a - ctg²a

Первым делом заменим ctg²a на 1/tan²a, так как ctg (котангенс) является обратной функцией к тангенсу.

Известно, что tg²a + 1 = 1/cos²a, поэтому ctg²a + 1 = 1/sin²a.

Таким образом, выражение примет следующий вид:
(1/tan²a * cos²a) + cos²a - (1/tan²a)

Далее заменим tan²a на sin²a/cos²a, так как tan (тангенс) равен отношению sin (синус) к cos (косинус).

Выражение становится:
(1/(sin²a/cos²a) * cos²a) + cos²a - (1/(sin²a/cos²a))

Умножим числитель первого слагаемого на cos²a и знаменатель - на sin²a:
(cos²a/cos²a * cos²a) + cos²a - (sin²a/cos²a)

Теперь упростим:
cos²a + cos²a - sin²a/cos²a

Используем тригонометрическое тождество cos²x + sin²x = 1:
1 - sin²a/cos²a

Вспомним, что sin²x/cos²x = tg²x:
1 - tg²a

Таким образом, окончательный вид выражения:
1 - tg²a

Подставим значение a = π/3:
1 - tg²(π/3)

Так как tg(π/3) = √3, получаем:
1 - (√3)² = 1 - 3 = -2

Итак, значение выражения ctg²a*cos²a+cos²a-ctg²a при a=π/3 равно -2.