Question

Определите все корни данного уравнения: tg 6x-tg 2x/ 1+ tg 6x × tg 2x = 1/ корень 3. x = пи/_ + пиk/ _

Answer 1

Хорошо, я с удовольствием помогу тебе решить это уравнение! Данное уравнение имеет следующий вид: tg(6x) - tg(2x) / (1 + tg(6x) × tg(2x)) = 1 / √3 Для начала, заметим, что в данном уравнении встречаются тригонометрические функции тангенс (tg). Для решения таких уравнений, часто используются алгоритмы замещения, которые позволяют свести уравнение к системе уравнений или привести его к более простому виду. Давай заменим тангенсы на отношения синуса и косинуса: tg(6x) = sin(6x) / cos(6x) tg(2x) = sin(2x) / cos(2x) Подставим эти замены в исходное уравнение: sin(6x) / cos(6x) - sin(2x) / cos(2x) / (1 + sin(6x) / cos(6x) × sin(2x) / cos(2x)) = 1 / √3 Для упрощения дробей, умножим числитель и знаменатель дроби слева на cos(6x) × cos(2x): (sin(6x) × cos(2x) - sin(2x) × cos(6x)) / (cos(6x) × cos(2x) + sin(6x) × sin(2x)) = 1 / √3 Здесь возникают тригонометрические формулы разности синусов и косинусов: 2 × sin((6x - 2x) / 2) × cos((6x + 2x) / 2) / (cos(6x) × cos(2x) + sin(6x) × sin(2x)) = 1 / √3 Раскроем косинусы и синусы для приведения дроби к более простому виду: 2 × sin(4x) / (cos(6x) × cos(2x) + sin(6x) × sin(2x)) = 1 / √3 Заменим корень из 3 на его численное значение (≈1.73) и домножим обе части уравнения на это число: 2 × 1.73 × sin(4x) / (cos(6x) × cos(2x) + sin(6x) × sin(2x)) = 1 Поделим числитель и знаменатель дроби на cos(6x), чтобы исключить его из знаменателя: 2 × 1.73 × sin(4x) / cos(6x) / (cos(6x) / cos(6x) × cos(2x) + sin(6x) / cos(6x) × sin(2x)) = 1 Упростим: 2 × 1.73 × sin(4x) / cos(6x) / (1 × cos(2x) + tan(6x) × sin(2x)) = 1 Разделим числитель на знаменатель: 2 × 1.73 × sin(4x) / cos(6x) = cos(2x) + tan(6x) × sin(2x) Выразим sin(2x) через cos(2x) с помощью тригонометрической формулы: 2 × 1.73 × sin(4x) / cos(6x) = cos(2x) + tan(6x) × 2 × cos(2x) / (1 + tan(6x)^2) Упростим дроби и объединим все слагаемые с cos(2x): 2 × 1.73 × sin(4x) / cos(6x) = (cos(2x) × (1 + 2 × tan(6x))) / (1 + tan(6x)^2) Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно. Числитель: cos(2x) × (1 + 2 × tan(6x)) = cos(2x) + 2 × sin(2x) / cos(2x) = cos(2x) + 2 × sin(2x) × 1 / sin(2x) / cos(2x) Используем тригонометрическую формулу для tan(2x): cos(2x) + 2 × sin(2x) / cos(2x) = cos(2x) + 2 × sin(2x) × cos(2x) / (1 - sin(2x)^2) Заменим sin(2x) через cos(2x) с помощью тригонометрической формулы: cos(2x) + 2 × sin(2x) × cos(2x) / (1 - sin(2x)^2) = cos(2x) + 2 × sin(2x) × cos(2x) / (1 - cos(2x)^2) Упростим: cos(2x) + 2 × sin(2x) × cos(2x) / (1 - cos(2x)^2) = cos(2x) + 2 × sin(2x) × cos(2x) / sin(4x) Знаменатель: 1 + tan(6x)^2 = 1 + sin(6x)^2 / cos(6x)^2 = 1 + (1 - cos(6x)^2) / cos(6x)^2 = 2 / cos(6x)^2 Подставим выражения для числителя и знаменателя обратно в исходное уравнение: 2 × 1.73 × sin(4x) / cos(6x) = (cos(2x) + 2 × sin(2x) × cos(2x) / sin(4x)) / (2 / cos(6x)^2) Упростим дроби и избавимся от знаменателя на левой стороне: 2 × 1.73 × sin(4x) × cos(6x)^2 = cos(2x) × sin(4x) × cos(2x) + 2 × sin(2x) × cos(2x) × cos(6x) Сократим sin(4x) и sin(2x): 2 × 1.73 × cos(6x)^2 = cos(2x) × cos(2x) + 2 × cos(6x) × cos(2x) Раскроем квадраты и приведем подобные слагаемые: 2 × 1.73 × (1 - sin(6x)^2) = cos^2(2x) + 2 × cos(6x) × cos(2x) Упростим еще немного: 2 × 1.73 - 2 × 1.73 × sin(6x)^2 = cos^2(2x) + 2 × cos(6x) × cos(2x) Заменим sin(6x)^2 через cos(6x)^2 с помощью тригонометрической формулы: 2 × 1.73 - 2 × 1.73 × cos(6x)^2 = cos^2(2x) + 2 × cos(6x) × cos(2x) Выразим cos(2x) из левой части уравнения: 2 × 1.73 - 2 × 1.73 × cos(6x)^2 = 1 - sin^2(2x) + cos(6x) × cos(2x) Используем тригонометрическую формулу cos^2(x) + sin^2(x) = 1: 2 × 1.73 - 2 × 1.73 × cos(6x)^2 = 1 - sin^2(2x) + cos(6x) × cos(2x) = cos(6x) × cos(2x) Разделим обе части уравнения на cos(6x) и разложим корень из 3 и cos(2x) на множители: 2 × 1.73 / cos(6x) - 2 × 1.73 × cos(6x) = √3 × √3 × cos(2x) Упростим: 2 × 1.73 - 2 × 1.73 × cos(6x) / cos(6x) = 3 × cos(2x) Упростим дробь справа: 2 × 1.73 - 2 × 1.73 = 3 × cos(2x) Упростим левую часть уравнения: 2 × 1.73 - 2 × 1.73 = 0 Таким образом, левая часть уравнения равна нулю, а правая часть равна 3 × cos(2x). Уравнение 0 = 3 × cos(2x) не имеет решений для x, так как значение косинуса не может быть больше 1 или меньше -1. Следовательно, данное уравнение не имеет корней для x.