Через 18 минут
Объяснение:
после 1 минуты 1 очко - 2⁰=1
после 2 минуты 1*2=2 очка = 2¹
после 3 - 4 очка =2²
после 4 - 8 очков =2³
после 5 - 16 очков = 2⁴
после n минут 2ⁿ⁻¹ очков
Можно заметить что очки начисляются как 2 в степени (минута игры -1)
Соответственно, логарифмируя конечную цифру 100000 по основанию 2 получаем результат - 16,61. То есть, результат 100000 будет достигнут через (16,61+1)=17,61 минут с начала игры. Но, так как очки начисляются только по истечении целой минуты, то после 17 минут игры 100000 еще не будет,а после 18 минут - будет результат превышающий 100000.
Проверяем:
2¹⁷⁻¹ = 65536 очков после 17 минут игры
2¹⁸⁻¹ = 131072 очка после 18 минут игры.
6543 и 6210
Объяснение:
Рассматриваются четырёхзначные числа M, среди которых нужно выбрать числа, удовлетворяющие условиям:
1) 6000 < M < 7000;
2) M делится на 9;
3) каждая следующая цифра M меньше предыдущей.
Если представить число M в виде 
, где хотя-бы один из цифр x или y или z отличен от 0, то 1-условие выполнено. Но, если выполняется 3-условие, то есть если 6>x>y>z, то 1-условие выполняется.
Рассмотрим все числа вида , для которых выполнено 3-условие:
6543, 6542, 6541, 6540, 6532, 6531, 6530, 6521, 6520, 6510;
6432, 6431, 6430, 6421, 6420, 6410;
6321, 6320, 6310;
6210.
Остается проверить 2-условие для этих чисел. Используем признак делимости на 9:
Число А делится на 9 ⇔ Сумма цифр числа А делится на 9.
Нетрудно проверить, что только следующие числа делятся на 9:
6543 (6+5+4+3=18) и 6210 (6+2+1+0=9).
Медведь
Объяснение: