ответ: a ∈ (-1; -2/3) ∪ (-2/3; -1/3)
Объяснение:
(1 + a)ctg²x - (2a + 4)/sin x + 1 - 7a = 0
(1 + a)(1/sin²x - 1) - (2a + 4)/sin x + 1 - 7a = 0
Замена: 1/sin x = t
(1 + a)(t² - 1) - (2a + 4)t + 1 - 7a = 0
(1 + a)t² - (2a + 4)t - 1 - a + 1 - 7a = 0
(1 + a)t² - (2a + 4)t - 8a = 0
При а = -1:
-2t + 8 = 0
t = 4
sin x = 1/4, x ∈ (0; π/2)
x = arc sin 1/4 - единственное решение.
а = -1 - не подходит.
При а ≠ -1:
D = (2a + 4)² + 32a(1 + a) = 4a² + 16a + 16 + 32a + 32a² = 36a² + 48a + 16 = (6a + 4)²
t = (2a + 4 ± (6a + 4)) / 2(1 + a)
t₁ = -4a/ 2(1 + a) = -2a/(1 + a)
t₂ = (8a + 8)/ 2(1 + a) = 4
1/sin x = -2a/(1 + a)
1/sin x = 4
sin x = -(1 + a) / 2a, x ∈ (0; π/2)
sin x = 1/4, x ∈ (0; π/2)
Уравнение будет иметь более одного решения при выполнении двух условий:
0 < -(1 + a) / 2a < 1
-(1 + a) / 2a ≠ 1/4
-2 < (1 + a)/a < 0
(1 + a)/a ≠ -1/2
-2 < 1/a + 1 < 0
1/a + 1 ≠ -1/2
-3 < 1/a < -1
1/a ≠ -3/2
-1 < a < -1/3
a ≠ -2/3
a ∈ (-1; -2/3) ∪ (-2/3; -1/3)
1)ΔABD Ф
АС² = AD² + CD²=a²+a² = 2a²
AC = a√2
CO=a√2/2
2) ΔSCO
SC² = SO² + CO²
a² = SO² + 2a²/4
SO² = a² - 2a²/4= 2a²/4
SO = a√2/2
CO = SO= OD=OA=OB
ΔSOC,ΔSOD,ΔSOA,ΔSOB - равнобедренные, прямоугольные
3)SO продолжим до пересечения со сферой. Появилась точка S1
4)∠SCS1 - вписанный . Он опирается на диаметр, значит,∠SCS1 = 90°
5) Δ SCS1 - прямоугольный с углом CSO = 45°⇒
∠CS1O = 45°⇒ΔSCS1 - равнобедренный⇒SC= S1C⇒
⇒CO - высота в нём, биссектриса и медиана⇒О - середина SS1⇒O- центр сферы.