1) Замена (1/4)^x = y > 0 при любом х 4y^2 + 15y - 4 = 0 (y + 4)(4y - 1) = 0 y1 = -4 - не подходит y = 1/4 = (1/4)^x x = 1
2) 3^x = -x + 1 = 1 - x 3^x > 0 при любом х, поэтому 1 - x > 0; x < 1 При x = 0 будет 3^0 = 1 - 0 = 1 - подходит При x ∈ (0; 1) будет 3^x > 1; а 1 - x < 1 - корней нет При x < 0 будет 3^x < 1; 1 - x > 1 - корней нет x = 0
3) 3^x*9*3^(1/5) - ? Здесь нет ни уравнения, ни неравенства
4) 2^(4x) >= 16 2^(4x) >= 2^4 4x >= 4 x >= 1
5) (1/4)^(2x-5) > 1/8 (1/2)^(4x-10) > (1/2)^3 Функция y = (1/2)^x - убывающая, потому что 1/2 < 1. При переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется. 4x - 10 < 3 x < 13/4
6) 5^(2x-3) - 2*5^(x-2) > 3 1/125*5^(2x) - 2/25*5^x - 3 > 0 Умножаем всё на 125 5^(2x) - 10*5^x - 375 > 0 Замена 5^x = y > 0 при любом x y^2 - 10y - 375 > 0 (y - 25)(y + 15) > 0 y = -15 < 0 - нет корней y = 25 = 5^x x = 2
5y^2 + 13y - 6 = 6y^2 + 7y + 2
5y^2 - 6y^2 + 13y - 7y - 6 - 2 = 0
- y^2 + 6y - 8 = 0
y^2 - 6y + 8 = 0
D = b^2 - 4ac= 36 - 32 = 4 = 2^2
y1 = ( 6 + 2)/ 2 = 4
y2 = ( 6 - 2) / 2 = 2
Проверяем подходят ли оба корня:
y =4 y = 2
(20 - 2)/(8 +1 )=( 12 + 2)/ 7 (10 - 2)/(4 + 1) = (6 + 2)/5
18/9 = 14/7 8/ 5 = 8/5 - верно.
2 = 2 - верно.
Находим среднее арифметическое корней:
(4 + 2) / 2 = 3