Для удобства дальнейших вычислений, давайте проведем процесс рационализации знаменателей.
Cначала рационализуем знаменатель в первой дроби: (1+√21/5)(1-√21/5) = 1 - (√21/5)^2 = 1 - 21/25 = 4/25.
Таким образом, первая дробь примет вид:
√(1-√21/5) * 5/4.
Аналогично, рационализуем знаменатель во второй дроби: (1-√21/5)(1+√21/5) = 1 - (√21/5)^2 = 1 - 21/25 = 4/25.
И вторая дробь примет вид:
√(1+√21/5) * 5/4.
Таким образом, итоговое выражение будет выглядеть так:
√(1-√21/5) * 5/4 + √(1+√21/5) * 5/4.
Для сокращения дроби, мы можем вынести общий множитель, 5/4.
Теперь мы должны просуммировать два корня:
√(1-√21/5) + √(1+√21/5).
Это выражение не требует дальнейших объяснений или упрощений, так как мы не можем вычислить его точное значение, не зная угловой меры α.
Таким образом, на данном этапе мы получили ответ:
(5/4)(√(1-√21/5) + √(1+√21/5)).
Он может быть рационализирован путем умножения на 1 = (√(1+√21/5) - √(1-√21/5))/(√(1+√21/5) - √(1-√21/5)).
Тогда наш ответ примет вид:
(5/4)((√(1-√21/5) + √(1+√21/5))/(√(1+√21/5) - √(1-√21/5))).
Но зачем этот ответ формулировать так сложно? :) Мы можем оставить его в таком виде, так как он является наиболее точным и полным решением, учитывая условия задачи.
У нас дано равенство:
√(1-cosα) / (1+cosα) + √(1+cosα) / (1-cosα)
И нам известно, что sinα = -2/5.
Для начала, давайте найдем cosα, зная sinα.
Мы знаем, что sinα = -2/5. Значит, согласно тригонометрической идентичности sin^2α + cos^2α = 1, мы можем вычислить cosα.
Для этого сначала найдем sin^2α: (sinα)^2 = (-2/5)^2 = 4/25.
Теперь найдем cos^2α: cos^2α = 1 - sin^2α = 1 - 4/25 = 25/25 - 4/25 = 21/25.
Таким образом, cosα = √(21/25) = √21/5.
Аналогичным образом, мы можем вычислить значения корней: √(1-cosα) = √(1-√21/5) и √(1+cosα) = √(1+√21/5).
Теперь, подставим найденные значения в начальное равенство:
√(1-cosα) / (1+cosα) + √(1+cosα) / (1-cosα) =
= √(1-√21/5) / (1+√21/5) + √(1+√21/5) / (1-√21/5)
Для удобства дальнейших вычислений, давайте проведем процесс рационализации знаменателей.
Cначала рационализуем знаменатель в первой дроби: (1+√21/5)(1-√21/5) = 1 - (√21/5)^2 = 1 - 21/25 = 4/25.
Таким образом, первая дробь примет вид:
√(1-√21/5) * 5/4.
Аналогично, рационализуем знаменатель во второй дроби: (1-√21/5)(1+√21/5) = 1 - (√21/5)^2 = 1 - 21/25 = 4/25.
И вторая дробь примет вид:
√(1+√21/5) * 5/4.
Таким образом, итоговое выражение будет выглядеть так:
√(1-√21/5) * 5/4 + √(1+√21/5) * 5/4.
Для сокращения дроби, мы можем вынести общий множитель, 5/4.
Теперь мы должны просуммировать два корня:
√(1-√21/5) + √(1+√21/5).
Это выражение не требует дальнейших объяснений или упрощений, так как мы не можем вычислить его точное значение, не зная угловой меры α.
Таким образом, на данном этапе мы получили ответ:
(5/4)(√(1-√21/5) + √(1+√21/5)).
Он может быть рационализирован путем умножения на 1 = (√(1+√21/5) - √(1-√21/5))/(√(1+√21/5) - √(1-√21/5)).
Тогда наш ответ примет вид:
(5/4)((√(1-√21/5) + √(1+√21/5))/(√(1+√21/5) - √(1-√21/5))).
Но зачем этот ответ формулировать так сложно? :) Мы можем оставить его в таком виде, так как он является наиболее точным и полным решением, учитывая условия задачи.