Для решения данной задачи, нам необходимо разложить выражение 16a^2 + 24ab + 9b^2 - 25 на множители, используя формулу квадрата разности. Формула квадрата разности имеет вид (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
1. Сначала мы видим, что в данном выражении имеются четыре слагаемых.
2. Заметим, что первое и третье слагаемые 16a^2 и 9b^2 являются квадратами некоторых выражений. То есть, 16a^2 = (4a)^2 и 9b^2 = (3b)^2.
3. Следовательно, мы можем представить выражение так: (4a)^2 + 24ab + (3b)^2 - 25.
4. Теперь мы можем использовать формулу квадрата разности для первого и третьего слагаемых. Согласно формуле, (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
9. Мы получили три группы слагаемых, каждую из которых можно сократить:
- Первая группа, 16a^2 + 9b^2, является квадратом суммы 4a и 3b. Согласно формуле квадрата суммы, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
В нашем случае, сумма будет 4a + 3b, и квадрат суммы равен (4a + 3b)^2 = 16a^2 + 24ab + 9b^2.
- Вторая группа, -40a + 24ab + 30b, является двумя произведениями с коэффициентами 4a и 6b.
Мы можем вынести 4a и 6b за скобки: 4a*( - 10) + 6b*( 4a + 5) = -40a + 24ab + 30b.
- Третья группа слагаемых равна 25 + 25 - 25 = 25, и она не может быть упрощена или сокращена.
10. Подставим найденные значения обратно в исходное выражение после группировки: (4a + 3b)^2 + 4a*(-10) + 6b*( 4a + 5) + 25.
Итак, выражение 16a^2 + 24ab + 9b^2 - 25 после разложения на множители и группировки будет равно (4a + 3b)^2 + 4a*(-10) + 6b*( 4a + 5) + 25.
Для записи этого выражения в виде многочлена, нужно выполнить операцию раскрытия скобок. В данном случае у нас есть квадратный трехчлен, который нужно умножить сам на себя.
(a - 6)^2 = (a - 6)(a - 6)
Раскроем скобки по формуле (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:
1. Сначала мы видим, что в данном выражении имеются четыре слагаемых.
2. Заметим, что первое и третье слагаемые 16a^2 и 9b^2 являются квадратами некоторых выражений. То есть, 16a^2 = (4a)^2 и 9b^2 = (3b)^2.
3. Следовательно, мы можем представить выражение так: (4a)^2 + 24ab + (3b)^2 - 25.
4. Теперь мы можем использовать формулу квадрата разности для первого и третьего слагаемых. Согласно формуле, (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
5. Применяя формулу в случае (4a)^2, получим: (4a)^2 = (4a - 5)^2 = (4a)^2 - 2 * (4a) * 5 + 5^2 =16a^2 - 40a + 25.
6. Применяя формулу в случае (3b)^2, получим: (3b)^2 = (3b + 5)^2 = (3b)^2 + 2 * (3b) * 5 + 5^2 = 9b^2 + 30b + 25.
7. Подставим полученные значения обратно в исходное выражение: 16a^2 - 40a + 25 + 24ab + 9b^2 + 30b + 25 - 25.
8. Сгруппируем слагаемые: (16a^2 + 9b^2) + (-40a + 24ab + 30b) + (25 + 25 - 25).
9. Мы получили три группы слагаемых, каждую из которых можно сократить:
- Первая группа, 16a^2 + 9b^2, является квадратом суммы 4a и 3b. Согласно формуле квадрата суммы, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
В нашем случае, сумма будет 4a + 3b, и квадрат суммы равен (4a + 3b)^2 = 16a^2 + 24ab + 9b^2.
- Вторая группа, -40a + 24ab + 30b, является двумя произведениями с коэффициентами 4a и 6b.
Мы можем вынести 4a и 6b за скобки: 4a*( - 10) + 6b*( 4a + 5) = -40a + 24ab + 30b.
- Третья группа слагаемых равна 25 + 25 - 25 = 25, и она не может быть упрощена или сокращена.
10. Подставим найденные значения обратно в исходное выражение после группировки: (4a + 3b)^2 + 4a*(-10) + 6b*( 4a + 5) + 25.
Итак, выражение 16a^2 + 24ab + 9b^2 - 25 после разложения на множители и группировки будет равно (4a + 3b)^2 + 4a*(-10) + 6b*( 4a + 5) + 25.