Question

Согласны ли вы, что:
Укажите истинность или ложность вариантов ответа:
__ Уравнение tg x = a имеет корни при любом значении а.
__ Для любого действительного а справедлива формула:
arсtg (-а) = -arctg а.
__ Уравнение tg x = a имеет корни только при -1 ≤ а ≤ 1.
__ Уравнение ctg x = a на интервале имеет бесконечное множество корней.
__ Для любого а из промежутка [-1;1] справедлива формула:
arсtg (-а) = π - arctg а.
__ Уравнение сtg x = a имеет корни при любом значении а.

Answer 1

Давайте рассмотрим каждый вариант ответа по очереди: 1. Уравнение tg x = a имеет корни при любом значении а. Ответ: Ложь. Обоснование: Тангенс - это отношение противоположной катета к прилежащей катету в прямоугольном треугольнике. Возможные значения тангенса находятся в пределах отрицательной бесконечности до положительной бесконечности, исключая некоторые точки, так как в них тангенс не существует (например, tg π/2 = не определен). Поэтому не все значения a будут удовлетворять уравнению tg x = a, и, следовательно, это утверждение является ложным. 2. Для любого действительного а справедлива формула: arсtg (-а) = -arctg а. Ответ: Истинa. Обоснование: Арктангенс - это обратная функция тангенсу и принимает значения из интервала (-π/2, π/2). В пределах этого интервала мы можем установить следующее равенство: arсtg (-а) = -arctg a. Это значит, что арктангенс от отрицательного числа равен минус арктангенсу от положительного числа. Таким образом, это утверждение является истинным. 3. Уравнение tg x = a имеет корни только при -1 ≤ а ≤ 1. Ответ: Истинa. Обоснование: Тангенс является периодической функцией с периодом π и принимает значения из интервала (-∞, ∞). Однако, чтобы уравнение tg x = a имело решение, a должно находиться в пределах от -1 до 1, так как тангенс принимает значение -1 при x = -π/4 и значение 1 при x = π/4. Поэтому это утверждение верно. 4. Уравнение ctg x = a на интервале имеет бесконечное множество корней. Ответ: Истинa. Обоснование: Котангенс - это обратная функция тангенсу и принимает значения из интервала (-∞, ∞), исключая некоторые точки. Решения уравнения ctg x = a будут находиться в точках, где котангенс равен а. Так как котангенс имеет период π, то решения будут повторяться бесконечное количество раз на всем интервале числовой прямой, и, следовательно, это утверждение является истинным. 5. Для любого а из промежутка [-1;1] справедлива формула: arсtg (-а) = π - arctg а. Ответ: Ложь. Обоснование: Арктангенс - это обратная функция тангенсу и принимает значения из интервала (-π/2, π/2). Для а, принадлежащего промежутку [-1;1], мы не можем установить равенство arсtg (-а) = π - arctg a, так как арктангенс принимает значения только в пределах (-π/2, π/2). Поэтому это утверждение является ложным. 6. Уравнение сtg x = a имеет корни при любом значении а. Ответ: Ложь. Обоснование: Котангенс - это обратная функция тангенсу и принимает значения из интервала (-∞, ∞), исключая некоторые точки. То есть, уравнение ctg x = a будет иметь решения только при определенных значениях а. Поэтому это утверждение является ложным.