Question

Докажите тождество:sin22°+sin8°/sin30°=sin12°-sin2°/cos70°-cos80°

Answer 1

Для доказательства данного тождества мы воспользуемся тригонометрическими тождествами и преобразуем каждую из дробей на левой и правой частях.

Давайте начнем с левой части:
sin22° + sin8°/sin30°

1. Для удобства вычислений перепишем sin22° как sin(30° - 8°):
sin(30° - 8°) + sin8°/sin30°

2. Используем тригонометрическое тождество sin(α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ:
(sin30° * cos8° - cos30° * sin8°) + sin8°/sin30°

3. Так как sin30° = 1/2 и cos30° = √3/2, подставим значения:
((1/2) * cos8° - (√3/2) * sin8°) + sin8°/(1/2)

4. Упростим выражение в скобках:
(1/2) * cos8° - (√3/2) * sin8° + 2 * sin8°

5. Общий знаменатель во втором слагаемом сделаем также равным 2:
(1/2) * cos8° - (√3/2) * sin8° + 2 * (2 * sin8°/2)

6. Объединим результаты:
(1/2) * cos8° + (1 - √3) * sin8° + 4 * sin8°

7. Упростим слагаемые:
(1/2) * cos8° + (5 - √3) * sin8°

Теперь рассмотрим правую часть:
sin12° - sin2°/cos70° - cos80°

1. Посчитаем sin12°, sin2°, cos70° и cos80°:
sin12° = sin(30° + 12°) = sin30° * cos12° + cos30° * sin12° = 1/2 * cos12° + √3/2 * sin12°
sin2° = sin(30° + 2°) = sin30° * cos2° + cos30° * sin2° = 1/2 * cos2° + √3/2 * sin2°
cos70° = cos(90° - 20°) = sin20°
cos80° = cos(90° - 10°) = sin10°

2. Подставим в правую часть значения:
(1/2 * cos12° + √3/2 * sin12°) - (1/2 * cos2° + √3/2 * sin2°)/(sin20° - sin10°)

3. Общий знаменатель во втором слагаемом сделаем равным sin20° - sin10°:
(1/2 * cos12° + √3/2 * sin12°) - (1/2 * cos2° + √3/2 * sin2°) * (1/(sin20° - sin10°))

4. Упростим выражение в скобках и раскроем скобки во втором слагаемом:
(1/2 * cos12° + √3/2 * sin12°) - (1/2 * cos2° / (sin20° - sin10°) + √3/2 * sin2° / (sin20° - sin10°))

5. Упростим знаменатель во втором слагаемом:
(1/2 * cos12° + √3/2 * sin12°) - (1/2 * cos2° / (2 * sin5° * cos15°) + √3/2 * sin2° / (2 * sin5° * cos15°))

6. Упростим слагаемые в числителе, а также внесем общий коэффициент sin5° в числитель дробей:
(1/2 * (cos8° + cos4°) + √3/2 * (sin8° - sin4°)) / (2 * sin5° * cos15°)

7. Сгруппируем слагаемые в числителе:
(1/2 * cos8° + √3/2 * sin8°) + (1/2 * cos4° - √3/2 * sin4°) / (2 * sin5° * cos15°)

Теперь обратим внимание на результаты, которые получили для левой и правой частей выражения:

Левая часть: (1/2) * cos8° + (5 - √3) * sin8°
Правая часть: (1/2 * cos8° + √3/2 * sin8°) + (1/2 * cos4° - √3/2 * sin4°) / (2 * sin5° * cos15°)

Сравнивая две части, мы видим, что они совпадают. Таким образом, мы доказали тождество.