0 1 −2
a) f (x, y) = x1 y1 +5x2 y2 +6x3 y3 +2x1 y3 +2x3 y1 +3x2 y3 +3x3 y2 , 2 0 −1 .
3 −2 0
f (x, y) = 2x1 y1 + 3x2 y2 + x3 y3 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + x1 y3 + x3 y1 + x2 y3 + x3 y2 ,
b)
2 1 1
−1 −3 1 .
1 2 −1
9.5. Даны два вектора a и b в унитарном(евклидовом) пространстве. Най-
ти сопряженный оператор к линейному оператору φ(x) = (x, a)b.
9.6. Найти сопряженный оператор к линейному оператору φ(x) = [x, a] в
пространстве геометрических векторов.
9.7. Пусть xOy декартова система координат на плоскости и φ проекти-
рование на ось 0x параллельно биссектрисе первой и третьей четверти.
Найти сопряженный оператор φ∗ .
9.8. Путь V пространство вещественных многочленов со скалярным про-
1
изведением (f, g) = i! ai bi , f (x) = ai xi и g(x) = bi xi . Доказать, что
сопряженный оператор к оператору дифференцирования в V совпадает с
оператором умножения на x. Найти сопряженный оператор к дифферен-
циальному оператору ψ(f ) = x3 f .
9.9. Пусть V пространство финитных функций на R ( финитная функция
– бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю вне некоторого
+∞
отрезка) со скалярным произведением (f, g) = −∞ f (x)g(x)dx. Найти со-
пряженный оператор к оператору дифференцирования D(f ) = f . Найти
сопряженный оператор к дифференциальному оператору ψ(f ) = x3 f .
9.10. Пусть V евклидово пространство вещественных n Ч n-матриц со
скалярным произведением (X, Y ) = TrXY t (см. задачу 7.11). Найти со-
пряженный оператор к оператору умножения φ(X) = AX на некоторую
матрицу A.
11
§10. Самосопряженные операторы
10.1. Найти диагональную форму и ортонормированный базис из соб-
ственных векторов для самосопряженного оператора, заданного в орто-
нормированном базисе матрицей:
1 2 −2 −1 2 −3
−2 3
a) , b) 2 1 −7 , c) 2 2 −6
3 6
−2 −7 1 −3 −6 7
√ √
√0 2 − 2 4 −1 2 −2 1 4
d) √ − 1 − 7 , e) −1 4 −2 , f ) 1 −2 4 ,
2 2 2
− 2 −2 −1
7
2
2 −2 7 4 4 13
0 0 0 1 0 1 1 1
0 0 1 0
, h) 1 0 1 1
g)
0 1 0 0 1 1 0 1
1 0 0 0 1 1 1 0
3 2 + 2i 3 −i 3 2−i
k) , m) , n) .
2 − 2i 1 i 3 2+i 7
10.2. a) Доказать, что оператор φ(f ) = (x2 − 1)f + 2xf является само-
сопряженным оператором в евклидовом пространстве вещественных мно-
+1
гочленов относительно скалярного произведения (f, g) = −1 f (x)g(x)dx.
dk
b) Доказать, что многочлены Лежандра Qk (x) = dxk (x2 − 1)k составляют
ортогональный базис из собственных векторов оператора φ. Найти соб-
ственные значения для Qk (x).
§11. Ортогональные и унитарные операторы
11.1. Найти ортонормированный базис из собственный векторов для уни-
тарных операторов, заданных матрицами:
cos α − sin α 1 1+i 1
a) (α = kπ), b) √ .
sin α cos α 3 −1 1 − i
11.2. Найти каноническую матрицу и канонический канонический базис
ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном ба-
f(5) = 2
f(-5) = -8
f(5) > f(-5)