Question

X^2+12y=-68 y^2-4x=28 , вот эту систему

Answer 1

- вот он, минус перед радикалом) остальные решения не годятся из-за знака. 

Отсюда имеем

$x= 2; \\ y = -6;$

Это решение исходной системы.

Вернемся к уравнению

$z = 4\sqrt{z -144} + 12\sqrt{z - 16}$

Для того, чтобы была хоть какая-то польза, представим его в виде

$z = a\sqrt{z -b^{2}} + b\sqrt{z - a^{2}}$

Решение 

$z - b\sqrt{z - a^{2}} = a\sqrt{z -b^{2}} \\z^{2} - 2zb\sqrt{z - a^{2}} + b^{2}(z - a^{2}) = a^{2}(z -b^{2})\\2b\sqrt{z - a^{2}} = z - a^{2} + b^{2}$

Вот оно, то самое место, где минус в первоначальном уравнении для z приводит к нерешаемому уравнению (в действительных числах). В случае минуса правая часть будет с другим знаком, и мы получаем равенство отрицательной и положительной величин. Однако в случае плюса ничего такого нет, и мы смело возводим обе ЗАВЕДОМО положительные величины в квадрат. Получаем.

$4b^{2}(z - a^{2}) = z^2 -2z(a^{2} - b^{2}) +(a^{2} - b^{2})^{2}\\(z - (a^{2} + b^{2}))^{2} = 0\\z = a^{2} + b^{2}$

Подставляем а  = 4 и b = 12, получаем решение.

Answer 2

Преобразуем уравнения:

x^2 =-68-12y

y^2=28+4y

Складываем

x^2 + y^2 = -68-12y + 28+4y

x^2 + y^2  + 40 + 12y - 4y = 0

раскладываем 40

40=36+4

Преобразуем

(x^2 - 4y +4) +  (y^2+12y+36) = 0

Сворачиваем выражения в скобках

(х-2)^2 +(y+6)^2 = 0

Сумма квадратов двух чисел может быть равна нулю только тогда, когда каждая скобка равна нулю:

(х-2)=0 и (у+6)=0

Откуда

х = 2, у = -6