корни многочлена
x₁=3;
x₂=-4;
x₃=0,5+(i√15)/2;
x₄=0,5-(i√15)/2.
Объяснение:
запишем все целые делители числа 60:
60(±1; ±2; ±3; ±4; ±5; ±6; ±10; ±15; ±20; ±30; ±60).
учтем, что x≠1; x≠2; x≠-2; x≠-3, и далее
методом подбора легко определить два корня уравнения:
x=3;
x=-4;
Но уравнение у нас имеет высшую степень 4, поэтому и корней оно имеет ровно 4. Попытаемся найти еще два недостающих корня. Приведем многочлен к стандартному виду:
(x²-4)(x²+2x-3)=60;
x⁴+2x³-3x²-4x²-8x+12-60=0;
x⁴+2x³-7x²-8x-48=0.
С учетом найденных двух корней:
(x-3)(x+4)=x²+x-12;
Разделим многочлен на известный множитель:
x⁴+2x³-7x²-8x-48 l x²+x-12
x⁴+x³-12x² l x²+x+4
x³+5x²-8x
x³+ x²-12x
4x²+4x-48
4x²+4x-48
0
Теперь наш многочлен имеет вид:
(x-3)(x+4)(x²+x+4)=0;
Попробуем найти недостающие два корня уравнения (разложить на мноители квадратный трехчлен x²+x+4)
x²+x+4=0; D=1-16<0;
два оставшихся корня - комплексные, т.к. √D=i√15;
x₁₂=0,5(-1±i√15);
x₁=0,5+(i√15)/2; x₂=0,5-(i√15)/2;
Многочлен разлогается на множетели следующим образом:
(x-3)(x+4)(x+0,5-(i√15)/2)(x-0,5+(i√15)/2)=0
ищем определитель через разложение по 1-му столбцу:
2 1 -1
Δ₁₁= 2 -1 3
0 1 2
определитель для этого минора.
∆₁₁ = 2*((-1)*2-1*3)-2*(1*2-1*(-1))+0*(1*3-(-1)*(-1)) = -16
минор для (2,1):
-1 0 3
Δ₂₁= 2 -1 3
0 1 2
определитель для этого минора.
∆₂₁ = (-1)*((-1)*2-1*3)-2*(0*2-1*3)+0*(0*3-(-1)*3) = 11
минор для (3,1):
-1 0 3
∆₃₁ = 2 1 -1
0 1 2
определитель для этого минора.
∆3,1 = (-1)*(1*2-1*(-1))-2*(0*2-1*3)+0*(0*(-1)-1*3) = 3
минор для (4,1):
-1 0 3
Δ₄₁ = 2 1 -1
2 -1 3
определитель для этого минора.
∆₄₁ = (-1)*(1*3-(-1)*(-1))-2*(0*3-(-1)*3)+2*(0*(-1)-1*3) = -14
определитель матрицы
∆ = (-1)⁽¹⁺¹⁾ *1*(-16) + (-1)⁽²⁺¹⁾ *3*11 + (-1)⁽³⁺¹⁾ *1*3 + (-1)⁽⁴⁺¹⁾ *4*(-14) = 10