Question

Знатоки/ученые/отличники/главные мозги/модераторы/профессоры, да все кому несложно Очень сильно нужно Только верно и понятно решите, умоляю.​

Answer 1

1.

$\sin\alpha+\sin5\alpha+\sin7\alpha+\sin11\alpha=(\sin\alpha+\sin11\alpha)+(\sin5\alpha+\sin7\alpha)=$

$=2\sin\dfrac{\alpha+11\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha-11\alpha}{2}+2\sin\dfrac{5\alpha+7\alpha}{2}\cos\dfrac{5\alpha-7\alpha}{2}=$

$=2\sin6\alpha\cos(-5\alpha) +2\sin6\alpha\cos(-\alpha)=2\sin6\alpha\cos5\alpha+2\sin6\alpha\cos\alpha=$

$=2\sin6\alpha(\cos5\alpha+\cos\alpha)=2\sin6\alpha\cdot2\cos\dfrac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\dfrac{5\alpha-\alpha}{2}=$

$=2\sin6\alpha\cdot2\cos3\alpha\cos2\alpha=4\cos3\alpha\cos2\alpha\sin6\alpha$

2.

$\sin2\alpha\cos5\alpha-\sin\alpha\cos6\alpha=$

$=\dfrac{1}{2}\Big(\sin(2\alpha+5\alpha)+\sin(2\alpha-5\alpha)\Big)-\dfrac{1}{2}\Big(\sin(\alpha+6\alpha)+\sin(\alpha-6\alpha)\Big)=$

$=\dfrac{1}{2}\Big(\sin7\alpha+\sin(-3\alpha)\Big)-\dfrac{1}{2}\Big(\sin7\alpha+\sin(-5\alpha)\Big)=$

$=\dfrac{1}{2}\Big(\sin7\alpha-\sin3\alpha\Big)-\dfrac{1}{2}\Big(\sin7\alpha-\sin5\alpha\Big)=$

$=\dfrac{1}{2}\Big((\sin7\alpha-\sin3\alpha)-(\sin7\alpha-\sin5\alpha)\Big)=$

$=\dfrac{1}{2}\Big(\sin7\alpha-\sin3\alpha-\sin7\alpha+\sin5\alpha\Big)=$

$=\dfrac{1}{2}\Big(\sin5\alpha-\sin3\alpha\Big)=\dfrac{1}{2}\cdot2\sin\dfrac{5\alpha-3\alpha}{2}\cos\dfrac{5\alpha+3\alpha}{2}=\sin\alpha\cos4\alpha=$

$=\sin\alpha\cdot\left(2\cdot\left(\cos2\alpha\right)^2-1\right)=\sin\alpha\cdot\left(2\cdot\left(1-2\sin^2\alpha\right)^2-1\right)=$

$=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\left(2\cdot\left(1-2\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\right)^2-1\right)=$

$=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\left(2\cdot\left(1-2\cdot\dfrac{1}{3}\right)^2-1\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\left(2\cdot\left(1-\dfrac{2}{3}\right)^2-1\right)=$

$=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\left(2\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-1\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\left(2\cdot\dfrac{1}{9}-1\right)=$

$-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\left(\dfrac{2}{9}-1\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\left(-\dfrac{7}{9}\right)=\dfrac{7}{9\sqrt{3}}=\dfrac{7\cdot\sqrt{3}}{9\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{7\sqrt{3}}{27}$

Answer 2

1. Доказать тождество

sinα +sin5α+sin7α +sin11α  = 4cos2α*cos3α*sin6α

sinα +sin5α+sin7α +sin11α =(sin5α +sinα) +(sin11α+sin7α) =

2sin3α*cos2α +2sin9α*cos2α =2cos2α*(sin9α+sin3α)=

2cos2α*2sin6α*cos3α =4cos2α*cos3α*sin6α

- - - - - - -

2.Найдите значение выражения sin2α*cos5α -sinα*cos6α ,если sinα = -1/√3

- - -

Cначала упростим выражение:

sin2α*cos5α -sinα*cos6α =2sinα*cos∝*cos5α - sinα*cos6α =

sinα(2cos5α*cos∝  - sinα*cos6α )=sinα*(cos6∝+cos4α -cos6α ) =

sinα*cos4α =sinα*(1 - 2sin²2α) = sinα*( 1 -2*(2sinα*cosα)² )=

= sinα*( 1 -8sin²α*cos²α ) =sinα*( 1 -8sin²α*(1 -sin²α) ) =  || sinα =-1/√3 ||

= (-1/√3)*( 1 -8*(-1/√3)² *(1 - (-1/√3)² )  = - 1/√3 *( 1- (8/3)*(2/3) ) = 7√3 / 27