СВОЙСТВА ЧИСЕЛ. ДЕЛИМОСТЬ 1. Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011. Как изменится произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1? ответ. Уменьшится на 2013. Решение. Пусть изначально были числа x и y (с произведением xy ). После того как первый множитель увеличили на 1, а второй уменьшили на 1, получилось (x 1)( y 1) = xy y x 1. Произведение увеличилось на 2011, то есть y x 1= 2011 или y x = 2012 . Если же первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1, получится (x 1)( y 1) = xy y x 1. Заметим, что xy y x 1= xy ( y x) 1= xy 2012 1= xy 2013 . То есть произведение уменьшилось на 2013. 2. Даны ненулевые числа x, y и z. Чему может равняться значение выражения (
|| − ||
) ∙ (
|| − ||
) ∙ (
|| − ||
) ответ. 0. Решение. Докажем, что выражение, стоящее по крайней мере в одной из скобок, равно нулю. Выражение, стоящее в первой скобке, принимает нулевое значение, если x и y одного знака. Аналогично для второй и третьей скобок. Но среди ненулевых чисел x, y и z обязательно найдутся либо два положительных числа, либо два отрицательных. А значит, хотя бы один из трех множителей равен нулю. Поэтому все произведение равно нулю. 3. Сравнить числа: 9 9 100 1 . . . 5 2 5 3 1 5 1 5 2 1 5 0 5 1 1 и 100 1 . ответ обосновать! ответ. Числа равны. Решение. Справедливо равенство 1 1 1 ( 1) 1 n n n n . Применяя его к сумме дробей, получим 100 1 100 1 5 0 1 100 1 9 9 1 . . . 5 2 1 5 1 1 5 1 1 5 0 1 . 4. Сумма двух положительных чисел и сумма их кубов являются рациональными числами. Можно ли утверждать, что а) сами числа рациональны? б) сумма их квадратов рациональна? ответ. а) Нет. б) Да, можно. Указание. а) В качестве примера можно взять числа a 2 1, b 2 1 . б) Пусть числа x a b и 3 3 y a b рациональны. Тогда 3 ( ) 3 3 3 x a b ab a b = y 3x ab. Отсюда x x y ab 3 3 – рациональное число. Поэтому число a b (a b) 2ab 2 2 2 также рационально.
1 завдання
(a₁ = -3
d = 4)
2 завдання (n= 3 )
Объяснение:
aₙ = a₁ + d(n-1)
a₅ = a₁ + d(5-1)
13 = a₁ + 4d
a₁₅ = a₁ + d(15-1)
53 = a₁ + 14d
a₁ + 4d = 13
a₁ + 14d =53
Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими. Розвяжемо методом додавання, для цього помножимо перше рівняння на (-1) і додамо до другого рівняння
-a₁ -4d = -13
a₁ + 14d =53
a₁ + (-a₁) -4d + 14d = -13 + 53
10d = 40
d =40/10
d = 4
Підставимо d у будь-яке з рівняннь для вирахування а
a₁ + 4 * 4 =13
a₁ = 13-16
a₁ = -3
2) Sₙ = ((2a₁ + d(n-1))2)n
Підставимо відомі нам числа
30 = ((12*2 + (-2)*(n -1))2)n
30 = ((24 -2n +2)*n)2
60 = (26-2n)*n
26n - 2n² -60 = 0
-2n² + 26n -60 = 0
n² -13n + 30 =0
D = 13*13 - 4*30
D = 169 - 120
D = 49
√D = 7
n₁ = (13 + 7)/2 = 20/2 = 10 - не підходить
n₂ = (13-7)/2= 6/2 = 3