1. Какие из приведённых ниже утверждений верны? Не забудьте обосновать свой ответ.
а) Существует неполное квадратное уравнение, имеющее корни 0 и 4.
б) Если дискриминант квадратного уравнения равен 16, то оно имеет два корня.
в) Если квадратное уравнение имеет только один корень, то его дискриминант равен 0.
г) Существует квадратное уравнение, имеющее корни 2 и (−4).
д) Существует полное квадратное уравнение, у которого все коэффициенты положительны, дискриминант положителен и оба корня положительны.
е) Существует полное квадратное уравнение, у которого все коэффициенты отрицательны,
дискриминант положителен и оба корня отрицательны.
ж) Если уравнение имеет один корень, то оно линейное.
з) Если уравнение имеет два корня, то оно квадратное.
и) Если уравнение имеет три корня, то оно не квадратное.
2. Не вычисляя корней 1, 2 уравнения 2 −4−3 = 0, найдите значения выражений:
а) 1 + 2;
б) 12;
в) 122 + 221;
г) 12+ 22;
д) 13 + 23;
е) (1 − 2)2;
ж) х1/х2 +х2/х1;
з) |1 − 2|.
а) Существует неполное квадратное уравнение, имеющее корни 0 и 4.
Это утверждение верно. Неполное квадратное уравнение имеет вид x^2 + bx = 0. В данном случае, если уравнение имеет корни 0 и 4, то оно может быть записано в виде (x - 0)(x - 4) = 0, что эквивалентно x^2 - 4x = 0.
б) Если дискриминант квадратного уравнения равен 16, то оно имеет два корня.
Это утверждение верно. Дискриминант квадратного уравнения D = b^2 - 4ac. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня.
в) Если квадратное уравнение имеет только один корень, то его дискриминант равен 0.
Это утверждение верно. Если квадратное уравнение имеет только один корень, то его дискриминант равен 0.
г) Существует квадратное уравнение, имеющее корни 2 и (-4).
Это утверждение верно. Квадратное уравнение может иметь любые корни, в том числе 2 и (-4).
д) Существует полное квадратное уравнение, у которого все коэффициенты положительны, дискриминант положителен и оба корня положительны.
Это утверждение верно. Полное квадратное уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0. Если все коэффициенты положительны и дискриминант положителен, то оба корня также будут положительными.
е) Существует полное квадратное уравнение, у которого все коэффициенты отрицательны, дискриминант положителен и оба корня отрицательны.
Это утверждение неверно. Если все коэффициенты отрицательны, то дискриминант будет отрицательным или нулевым, и уравнение не будет иметь положительных корней.
ж) Если уравнение имеет один корень, то оно линейное.
Это утверждение неверно. Уравнение может быть квадратным, кубическим или иметь ещё более высокую степень полинома, но при этом иметь только один корень.
з) Если уравнение имеет два корня, то оно квадратное.
Это утверждение неверно. Уравнение с двумя корнями может быть как квадратным, так и выше квадратного.
и) Если уравнение имеет три корня, то оно не квадратное.
Это утверждение верно. Если уравнение имеет три корня, то оно не может быть квадратным, так как квадратное уравнение имеет два корня.
2. Теперь рассмотрим выражения:
а) 1 + 2 = 3
б) 12 = 12
в) 122 + 221 = 343
г) 12 + 22 = 34
д) 13 + 23 = 36
е) (1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1
ж) x1/x2 + x2/x1 – в данном выражении недостаточно информации о значениях x1 и x2 чтобы определить ответ.
з) |1 - 2| = |-1| = 1