∉ и И
Объяснение:
Во первых множество всех натуральных чисел обычно обозначают буквой N.
2. Если к натуральным числам присоединить число 0 и все целые отрицательные числа: −1,−2,−3,−4... — то получится множество целых чисел. Это множество обычно обозначают буквой Z.
3. Если к множеству целых чисел присоединить все обыкновенные дроби, то получится множество рациональных чисел. Это множество обычно обозначают буквой Q.
4. ∈ — знак принадлежности (элемент принадлежит множеству).
5. ∉ — элемент не принадлежит множеству.
Рациональной функцией (или дробью) называется функция вида
$$f(x) = \displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)},$$
где $P(x)$ и $Q(x)$ – многочлены. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то рациональная дробь называется правильной. Ясно, что каждая рациональная дробь может быть представлена в виде
$$\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} = R(x) + \displaystyle\frac{P_{1}(x)}{Q(x)},$$
где $R(x)$ – многочлен, а дробь $\displaystyle\frac{P_{1}(x)}{Q(x)}$ – правильная. Поскольку интегралы от многочленов вычисляются совсем просто, то мы будем рассматривать методы интегрирования правильных дробей.
Будем различать следующие четыре вида дробей:
$\displaystyle\frac{A}{x-a}$, где $A$, $a$ — постоянные.
$\displaystyle\frac{A}{(x-a)^k}$, где $A$, $a$ — постоянные, $k = 2,3 \ldots$
$\displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q}$, где $M$, $N$, $p$, $q$ – постоянные, квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.
$\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k}$, где $M$, $N$, $p$, $q$ – постоянные, квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.
Покажем как вычисляются интегралы от каждой из этих дробей.
$\int \displaystyle\frac{a}{x-a}dx = A\ln\left | x — a \right | + C$.
$\int \displaystyle\frac{a}{(x-a)^k}dx = -\frac{A}{k-1}\cdot \displaystyle\frac{1}{(x-a)^{k-1}} + C$.
$\int \displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q}dx$. Для вычисления этого интеграла представим подынтегральное выражение в виде
$$\displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q} = \displaystyle\frac{\frac{M}{2}(2x+p) + N — p\frac{M}{2}}{x^2 + px + q} = \displaystyle\frac{M}{2} \cdot \displaystyle\frac{2x+p}{x^2 + px + q} + \displaystyle\frac{N-p\displaystyle\frac{M}{2}}{x^2 + px + q}.$$
Для вычисления интеграла от первого слагаемого справа, очевидно, достаточно выполнить замену $t = x^2 + px + q$. Тогда получим
$$\int \displaystyle\frac{2x + p}{x^2 + px + q} = \ln(x^2 + px + q) + C.$$
Для вычисления интеграла от второго слагаемого справа выделим полный квадрат в знаменателе, т.е. представим знаменатель в виде $x^2 + px + q = (x+\displaystyle\frac{p}{2})^2 + q — \displaystyle\frac{p^2}{4}$. Поскольку квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней, то его дискриминант $\displaystyle\frac{p^2}{4} — q < 0$. Обозначим $a^2 = q — \displaystyle\frac{p^2}{4}$. Выполняя замену $x + \displaystyle\frac{p}{2} = t$, получим
$$\int \displaystyle\frac{1}{x^2 + px + q}dx = \int \displaystyle\frac{1}{(x+\displaystyle\frac{p}{2})^2 + a^2}dx = \int \displaystyle\frac{dt}{t^2 + a^2} = \frac{1}{a^2} \int \displaystyle\frac{dt}{\displaystyle\frac{t^2}{a^2} + 1} =\\= \displaystyle\frac{1}{a} \int \displaystyle\frac{d(\displaystyle\frac{t}{a})}{(\displaystyle\frac{t}{a})^2 + 1} = \displaystyle\frac{1}{a} \text{arctg}\: \displaystyle\frac{t}{a} + C .$$
Возвращаясь теперь к старой переменной, получим исходный интеграл.
$\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k}$. Для вычисления этого интеграла, как и в предыдущем случае, представим подынтегральное выражение в виде
$$\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k} = \displaystyle\frac{\frac{M}{2}(2x + p) + N — p\displaystyle\frac{M}{2}}{(x^2 + px + q)^k} =\\=\displaystyle\frac{M}{2} \cdot \displaystyle\frac{2x+p}{(x^2 + px + q)^k} + \displaystyle\frac{N-p\frac{m}{2}}{(x^2 + px + q)^k}.$$
Для вычисления интеграла от первого слагаемого справа, очевидно, достаточно выполнить замену $t = x^2 + px + q.$ Тогда получим
$$\int \displaystyle\frac{2x + p}{(x^2 + px + q)^k}dx = \displaystyle\frac{1}{-k+1}(x^2+px+q)^{-k+1} +C.$$
Для вычисления интеграла от второго слагаемого, как и в предыдущем случае, выделим полный квадрат из квадратного трехчлена в знаменателе. Тогда после замены переменной $t = x+\displaystyle\frac{p}{2}$ он сведется к интегралу вида $\int \displaystyle\frac{dt}{(t^2+a^2)^k}$. Обозначим этот интеграл через $I_{k}$ и выведем рекуррентную формулу для вычисления этого интеграла. Будем применять формулу интегрирования по частям. Имеем
$$ I_{k} = \int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^k} = \begin{bmatrix}u = \displaystyle\frac{1}{(t^2+a^2)^k}, & dv = dt \\ du = -\displaystyle\frac{2kt}{(t^2+a^2)^{k+1}}, & v = t \end{bmatrix} =\\=\displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2k\int \displaystyle\frac{t^2}{(t^2 + a^2)^{k+1}}dt = \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k}+2k\int\displaystyle\frac{t^2 + a^2 — a^2}{(t^2 + a^2)^{k+1}}dt =\\= \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2k\int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^k} — 2ka^2 \int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^{k+1}} =\\= \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2kI_{k} — 2ka^2I_{k+1}.$$
Отсюда находим
$$I_{k+1} = \displaystyle\frac{1}{2ka^2}\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} +(2k-1)I_k \end{bmatrix} (k = 1,2,\ldots).$$
При этом, как мы уже вычислили ранее,
$$I_{1} = \int \displaystyle\frac{dt}{t^2 + a^2} = \displaystyle\frac{1}{a} \text{arctg}\:\displaystyle\frac{t}{a} + C.$$
