Теорема Безу + основная теорема алгебры -> многочлен n-ой степени представим в виде a(x-c1)*...*(x-cn), где c1..cn- его корни. Наибольший общий делитель f и g тоже представим в таком виде, причем его корни являются одновременно корнями f и g Корни f - корни p-ой степени из 1: cos(2Пk/p) + i*sin(2Пk/p), k = 0..p-1 Корни g - корни q-ой степени из 1: cos(2Пn/q) + i*sin(2Пn/q), n = 0..q-1 Корни НОД - cos(2Пy) + i*sin(2Пy), где y представимо в виде k/p = n/q, т.е. np = qk, n - 0..q-1, k = 0..p-1 - таких ровно d = НОД(p,q) Пусть p = ad, q = bd, тогда ka/p = k/d = kb/q, k = 0..d-1 Т.е. корни НОД f и g - это корни d-ой степени из 1, и результат имеет вид x^d - 1 Действительно, x^p - 1 = x^(ad) - 1 = (x^d - 1)(1 + x^d + ... + x^(d(a-1)) ) x^q - 1 = x^(bd) - 1 = (x^d - 1)(1 + x^d + ... + x^(d(b-1)) )
Все корни n-ой (n > 1) степени из 2 будут иметь вид |2|^(1/n) * (cos(2Пk/n) + i*sin(2Пk/n)), k = 0, 1, ..., n-1 Обозначим w = cos(2П/n) + i*sin(2П/n) Тогда корни будут иметь вид |2|^(1/n) * w^k, k = 0, 1, ..., n-1 (формула Муавра) Их сумма: |2|^(1/n) * ( 1 + w + w^2 + ... + w^(n-1) ) 1 + w + w^2 + ... + w^(n-1) = (1 - w^n)/(1 - w) w^n = (cos(2П/n) + i*sin(2П/n))^n = cos(2Пn/n) + i*sin(2Пn/n) = 1 1 - w^n = 0 Сумма корней = 0 (для любого n > 1) Так что сумма всех корней 1024-ой степени из 2 равна 0 и не отличается от суммы корней 1025-ой степени
~•~•~•ZLOY_TIGROVSKIY~•~•~•