task/30246276 А(4 ; 6) ; m(b): x - 5y +7=0 ; h(b): x + 4y - 2= 0 ⇔y=(-1/4)*x +1/2.
решение Для определенности пусть медиана BM , а высота BH . Координаты этой вершины B определяется в результате решения системы { x -5y +7=0 ; x + 4y-2= 0. ⇔{x-5y +7=0; 9y =9. ⇔{ x= -2 ; y= 1 . B(- 2; 1).
Уравнение стороны AC будет имеет вид y - 6 = k(x - 4) ; угловой коэффициент k определяется из k* k₁= - 1 , где k₁ угловой коэффициент прямой BH (т.к. AC⊥ BH ): x+4y -2=0 ⇔ y = (-1/4)x +1/2. ( k₁ = -1/4 ⇒ k = 4 ). y - 6 = 4(x - 4)
уравнение стороны AC : 4x - y - 10 = 0 . * * *(1/√17)*(4x -y -10) =0 * * *
Для определения координаты вершины С сначала определим координаты середины стороны AC (точка M) , а для этого достаточно решить систему уравнений ( уравнении прямых AC и BM) :
{ x- 5y +7=0 ; 4x - y - 10 = 0. ⇔ { x=3; y =2 . M(3 ; 2)
x(C) =2x(М)-x(A) =2*3-4 =2 ; y(C) =2y(М)-y(A) =2*2-6 =-2. C(2 ; -2)
* * * т.к. x(М)= ( x(A) + x(C) ) / 2 ; y(М)=( y(A) +y(C) ) / 2. * * *
Уравнение прямой AB: y-6=[(1-6):(-2-4)]*(x -4) ⇔5x - 6y +16 =0.
* * * уравнение прямой проходящей через точек М(x₁ ; y₁) и N(x₂;y₂) → y - y₁ =[ (y₂ -y₁) / (y₂ -y₁) ] * (x -x₁ ) ; k = (y₂ -y₁) / (x₂ -x₁) * * *
Уравнение прямой BC: y-1=[(-2-1):(2 -(-2)]*(x -(-2)) ⇔ 3x+4y +2 =0.
Длина высоты BH (расстояние от точки B(-2 ; 1) до прямой AC ). Нормальное уравнение прямой AC: (4x - y - 10) /√17 = 0 * * * (4x - y - 10) /√(4²+ (-1)²) = 0 * * *
d = | 4*(-2) - 1 - 10 | / √17 = 19 /√17 .
\left \{ {{(2x+3)^{2} =-7y} \atop {(2x+5)=-7y}} \right.
Выразим y:
(2x+3)^{2} = -7y
4x^{2}+12x+9 = -7y
y = \frac{4x^{2}+12x+9}{-7}
Решим систему:
\left \{ {{(2x+3)^{2} =-7y} \atop {(2x+5)=-7y}} \right.
\left \{ {{(2x+3)^{2} =-7y | } \atop {(2x+5)=-7y | *(-1)}} \right.
\left \{ {{(2x+3)^{2} =-7y} \atop {-(2x+5)=7y}} \right.
Суммируем:
(2x+3)^{2} -(3x+5)^{2} = 0
Раскроем скобки:
(4x^{2} +12x+9) -(9x^{2}+30x+25) = 0
4x^{2} +12x+9 -9x^{2}-30x-25
-5x^{2}-18x-16 = 0 (*-1)
5x^{2}+18x+16 = 0
D = 4
\sqrt{D} = 2
x_{1} = -2 x_{-1.6}
Найдем y подставив в формулу: y = \frac{4x^{2}+12x+9}{-7}
y_{1} = \frac{4(-2)^{2}+12(-2)+9}{-7} = -\frac{1}{7}
y_{2} = \frac{4(-1.6)^{2}+12(-1.6)+9}{-7} = -\frac{1}{175}
ответ: (-2; -\frac{1}{7}); (-1.6; -\frac{1}{175}).