Так как a - b =1; ⇒ a= b+1;Подставим в выражение вместо а. (b + 1 )^2 - 4b(b+1) -3b^2= b^2 + 2b+1-4b^2 -4b -3b^2= - 6 b^2 - 2b +1; Исследуем получившуюся функцию на экстремумы: y = - 6b^2 - 2b +1; y '(b) =-12 b -2; y ' =0; ⇒ -12 b - 2 =0; -12b = 2; b = -1/6 . Нарисуем коорд. прямую, проставим знаки плюс и минус справа налево. Тогда на интервале от минус бесконечности до минус одной шестой функция возрастала, а после минус одной шестой возрастала, ТО есть b= - 1/6 - точка точка максимума. Найдем а. а = b+1= - 1/6 +1 =5/6 ответ а= 5/6; b = -1/6
Т.к. sin(x) - непрерывная функция, она интегрируема, и можно выбирать любое разбиение с любыми точками на нем. Разобьем [a,b] на n равных частей и возьмем значения функции в левых точках получившихся отрезков: ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1
Здесь были применены формулы cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y)) Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n
y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.
Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1
Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.
При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)
Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1
Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)
(b + 1 )^2 - 4b(b+1) -3b^2= b^2 + 2b+1-4b^2 -4b -3b^2= - 6 b^2 - 2b +1;
Исследуем получившуюся функцию на экстремумы:
y = - 6b^2 - 2b +1;
y '(b) =-12 b -2;
y ' =0; ⇒ -12 b - 2 =0;
-12b = 2;
b = -1/6 . Нарисуем коорд. прямую, проставим знаки плюс и минус справа налево. Тогда на интервале от минус бесконечности до минус одной шестой функция возрастала, а после
минус одной шестой возрастала, ТО есть b= - 1/6 - точка точка максимума. Найдем а. а = b+1= - 1/6 +1 =5/6 ответ а= 5/6; b = -1/6