![\int \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}\, dx=\Big[\; x=\dfrac{1}{cost}\; ,\; dx=\dfrac{sint\; dt}{cos^2t}\; ,\; x^2-1=\dfrac{1}{cos^2t}-1=tg^2t\; \Big]=\\\\\\=\int \dfrac{tgt}{\frac{1}{cos^4t}}\cdot \dfrac{sint\; dt}{cos^2t}=\int \dfrac{sint\; \cdot \; sint}{\frac{1}{cos^2t}}\, dt=\int sin^2t\cdot cos^2t\, dt=\int (sint\cdot cost)^2\, dt=\\\\\\=\int \Big(\; \dfrac{1}{2}\cdot sin2t\Big)^2\, dt=\dfrac{1}{4}\int sin^22t\, dt=\dfrac{1}{4}\int \dfrac{1-cos4t}{2}\, dt=\dfrac{1}{8}\int (1-cos4t)\, dt=](/tpl/images/1229/7463/248df.png)
Исследуем поведение функции вблизи точек, где её аналитическое выражение меняется . Найдём левосторонние и правосторонние пределы в точках х= -1, х=1 , х=2 .
При х= -1 функция имеет разрыв 1 рода .
При х=1 функция непрерывна.
При х=5 функция имеет разрыв 2 рода .
График функции нарисован сплошными линиями.
На 1 рисунке нет чертежа функции при х>2 , для которого прямая х=2 является асимптотой , так как он не умещается при данном масштабе. Этот график полностью начерчен отдельно на 2 рисунке, чтобы вы понимали, как он расположен. Но для вашей функции берётся только та часть графика, которая нарисована для х>2 сплошной линией..
Исследуем поведение функции вблизи точек, где её аналитическое выражение меняется . Найдём левосторонние и правосторонние пределы в точках х=0, х=2 , х=5 .
При х=0 функция имеет разрыв 1 рода .
При х=2 функция непрерывна.
При х=5 функция имеет разрыв 2 рода .
График функции нарисован сплошной линией.
На 1 рисунке нет чертежа функции 
при х>5 , для которого прямая х=5 является асимптотой , так как он не умещается при данном масштабе. Этот график полностью начерчен отдельно на 2 рисунке, чтобы вы понимали, как он расположен. Но для вашей функции берётся только та часть графика, которая нарисована для х>5 .
