Дана система уравнений: {x² + xy + x + y = -2
{y² + xy + x + y = 1.
Сгруппируем: {х(x + y) + (x + y) = (х + у)(х + 1) = -2
{у(y + x) + (x + y) = (х + у)(у + 1) = 1.
Разделим второе уравнение на первое.
(у + 1)/(х + 1) = -1/2.
2у + 2 = -х - 1
х = -2у - 3 = -(2у + 3).
Вычтем из второго начального уравнения первое.
у² - х² = 3. Подставим вместо х его значение, полученное выше.
у² - 4у² - 12у - 9 = 3.
Получаем квадратное уравнение 3у² + 12у + 12 = 0, или, сократив на 3:
у² + 4у + 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:
D=4^2-4*1*4=16-4*4=16-16=0;
Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:
y=-4/(2*1)=-2.
Отсюда х = -(2*(-2) + 3) = 1.
ответ: х = 1, у = -2.
у = ах² + bx + с -(а ≠ 0) - квадратичная функция, графиком которой является парабола.
Координаты вершины параболы находят так: х₀ = -b/(2а), а у₀ находят, подставив в формулу, задающую функцию, вместо переменной х значение х₀.
Однако, в данном случае использовать формулы для нахождения координат вершины параболы трудоемко, т.к. графики указанных функций легче получить сдвигом графика функции у = х² вдоль оси Ох или оси Оу.
Вершина параболы у = х² - это точка (0; 0).
Поэтому:
1) для функции y = x² + 7: график данной функции можно получить сдвигом графика функции у = х² на 7 единиц вверх, т.е. (0; 7) - вершина параболы;
2) для функции y = (x + 8)² : график данной функции можно получить сдвигом графика функции у = х² на 8 единиц влево, т.е. (-8; 0) - вершина параболы;
3) для функции y = (x - 6)² + 9: график данной функции можно получить сдвигом графика функции у = х² на 6 единиц вправо и на 9 единиц вверх, т.е. (6; 9) - вершина параболы.
Графики указанных функций строят так:
- строят график функции у = х² по точкам:
если х = ±1, то у = 1; если х = ±2, то у = 4; если х = ±3, то у = 9;
- "сдвигают" эти точки на нужное количество единиц вдоль осей Оу и Ох.
См. рисунок
у = х² - синего цвета
у = х² + 7 - красного
у = (х + 8)² - фиолетового
у = (х - 6)² + 9 - коричневого